1.5 Über die exponentielle Abnahme physikalischer Größen

Nach den Ausführungen des letzten Kapitels sind Exponentialfunktionen mit b^c·x  (b>1und  c<0 oder b<1 und c>0) streng monoton fallend. Es gibt viele physikalische Größen, die nach einer Exponentialfunktion abnehmen.

Als Beispiele sollen genannt werden:

1.    die Zahl radioaktiver Atome innerhalb eines radioaktiven Präparates,

2.    die Temperaturdifferenz zwischen einem abkühlenden Körper und seiner Umgebung,

3.    die Schwingungsweite einer abklingenden Stimmgabel und

4.    der Wasserstand auslaufenden Wassers in einem Gefäß mit textilem Boden.

Das 4. Beispiel soll hier ausführlich behandelt werden.

Wasser fließt aus einem zylindrischen Gefäß mit textilem Boden (siehe Abb. 1).

 Abb. 1

Die Ausflussgeschwindigkeit des  Wassers ist  der Gewichtskraft  des  im Gefäß vorhandenen Wassers proportional. Somit  gilt  für  die  Wassermenge Δm,  welche in einem kleinen Zeitabschnitt Δt ausfließt:

Δm  ~ m · g · Δt   →     Δm ~ m ·Δt     →       Δm/(m·Δt) = Konstante = k       →      Δm = k · m ·Δt

Mit der Programmzeile k=0,2; h=0,01; m=m-k * m *h; t=t+h; y=m; x=t in sim.html kann der Wasserstand im Gefäß in Abhängigkeit von der Zeit dargstellt werden (siehe Abb.2). h steht für Δt. Im Diagramm der Abb.2 ist m =200g als Anfangswert erkennbar.

 Abb. 2

An  dem   Diagramm  fällt  auf,   dass    innerhalb  einer   Zeit    T = 3,48s (Halbwertszeit) eine Halbierung der  vorhandenen Wassermenge stattfindet.  

Dies lässt folgenden Schluss zu:     m = m₀ · (1/2)^t/T ;    m₀ = 200g, T = 3,48 s

(1/2)^t/T stimmt mit e^{k· t} überein.