1.3 Die Zahl e

Herleitung des Wachstumsgesetzes einer Bakterienkultur

Im Kapitel 1.1 wurde das Bakterienwachstum durch das folgende Programm in der App. sim.html dargestellt :

k=0,2; h= ,01; b = b + k*b*h; t = t + h; y=b; x=t; l=b

h=0,01 steht für Δt (Einheit: Stunde) und b für die Zahl der Bakterien (Anfangswert b= 100).

Die mit diesem  Programm entwickelte Wachstumskurve gleicht dem Grafen zu

y = 100 · 2 ^t/T ( T = Verdopplungszeit, y=b). Die Verdopplungszeit T hängt vom Wachstumsfaktor k ab.

k = Δb / (b· Δt) , Δb: Zuwachs in der Zeit Δt

Je größer  k ist, desto kleiner ist T.  Möglicherweise ist das Produkt k · T eine Konstante.  An Wachstumskurven zu verschiedenen k werden Verdopplungszeiten abgelesen. Die Vermutung, dass k · T eine Konstante ist ( T ~ 1/k ), erfährt eine Bestätigung. Für das genannte Produkt findet man in allen Fällen: 

k · T = 0,692    →       T = 0,692/k

↓

y =100 · 2^{t /T}  = 100 · 2 ^{k·t / 0,692}

1 /0,692 = 1,445

↓

y = 100 · 2^1,445·k·t   =  100 · (2^1,445)^k·t

Zur Vereinfachung dieses Terms nehmen wir 2^1,445 als Basis und geben dem Wert 2^1,445 = 2,72 den Namen e. So können wir schreiben :

y = f(t)  = b₀ · e ^k·t ;   b₀ = 100

e als Grenzwert von (1+ c)^c

Der oben angegebene Gleichung für das Bakterienwachstum soll nun hergeleitet werden. Für den Zuwachs Δb von b Bakterien in einem kleinen Zeitabschnitt Δt gilt:

k = Δb / (b· Δt) → Δb = b· k · Δt

Diese Gleichung ist mit einem kleinen Fehler behaftet, denn b ist nicht konstant in Δt, sondern ändert sich innerhalb dieses kleinen Zeitabschnitts. Der Fehler ist jedoch nicht nennenswert, wenn Δt sehr klein gewählt ist. 

Wenn wir die Bakterienzahl am Anfang und Ende von Δt (Δt₁) mit b₀ und b₁ bezeichnen, dann gilt:

b₁ = b₀ + b₀ · k · Δt = b₀ · (1+ Δt · k)

Hieraus folgt für den nächsten Abschnitt Δt:    b₂ = b₁ + b₁ · k · Δt   =   b₁ · (1+ Δt ·k)

Unter Berücksichtigung von  b₁ = b₀ · (1+ Δt · k) folgt hieraus:   b₂ = b₀ · (1+ Δt ·k)²

Die Zahl b_j am Ende eines aus j Zeitabschnitten gebildeten Zeitraums der Dauer t kann somit errechnet werden nach:

 b_j =  b₀·(1+ Δt ·k)^j

b_j = b₀ · (1+ Δt · k)^j ;     j  = t /Δt (j · Δt = t !)  →     b_j = b_t = b₀ · (1+ Δt · k)^t/Δt   

Um einen Vergleich mit y= f(t)  = b₀ · e ^k·t zu ermöglichen, wird der Exponent t/Δt von (1+ Δt · k)^t/Δt   mit k erweitert.

↓

b_t = b₀·(1+ Δt·k)^{k · t / (k · Δt)}       →     b_t = b₀· [(1+ Δt·k)^{1/ ( k · Δt )} ]^{k · t}

1/( k · Δt) = c

↓

b_t = b₀· [(1+ 1/c)^c ]^{k · t}

Oben wurde gesagt, dass Δb = b · k · Δt umso besser gilt je kleiner Δt ist. Folglich geht der durch die Dauer von Δt bedingte Fehler in  b_t = b₀ · [(1+ 1/c)^c]^{k · t}   gegen 0, wenn c gegen  strebt . Beim Vergleich von b_t = b₀· [(1+ 1/c)^c ]^{k · t}   mit y= b_t= b₀·e^k·t   wird der Schluss nahegelegt, dass der Term (1+1/c)^c  mit größer werdendem c bzw. kleiner werdendem Δt gegen e strebt.

Die Überprüfung dieser Vermutung erfolgt mit der hier verfügbaren App. Rechner.php. In das Rechenfenster wir die Zeile a=a+1; c=4^a; c=(1+1/c)^c eingetragen und danach wird mehrmals das Gleichheitszeichen angeklickt. Deutlich ist dabei zu erkennen, wie sich der Wert des Terms (1+1/c)^c mit wachsendem c=4; 16; 256; 65536... dem Grenzwert 2,718.... nähert.

Die Folge der Werte (1+1/c) ^c verhält sich ähnlich wie die Zahlenfolge 0,9;  0,99;  0,999;  0,9999;  0,99999............. Auch die Glieder dieser Zahlenfolge nähern sich nach und nach immer mehr einer als Grenzwert bezeichneten Zahl. Der Grenzwert der Folge 0,9;  0,99;  0,999;  0,9999;  0,99999............. ist 1.

Angesichts dieser Tatsache ist es sinnvoll, e als Grenzwert von (1+1/c)^c zu definieren.