1.3 Die Zahl e

Wachstumsgesetz einer Bakterienkultur

Im Kapitel 1.1 wurde das Bakterienwachstum durch das folgende Programm in sim.html dargestellt :

n=200; k=0,2; h= 0,01; b = b + k*b*h; y=b; L=b; t = t + h; x=t

h=0,01 steht für Δt (Einheit: Stunde) und b für die Zahl der Bakterien (Anfangswert b = 100).

Die mit diesem  Programm entwickelte Wachstumskurve gleicht dem Grafen zu y = 100 · 2 ^t/T ( T = Verdopplungszeit, y = b). Die Verdopplungszeit T hängt vom Wachstumsfaktor k ab.

k = Δb / (b· Δt) 

Δb: Zuwachs in der Zeit Δt

Je größer  k ist, desto kleiner ist T.  Möglicherweise ist das Produkt k · T eine Konstante.  Die Vermutung, dass k · T eine Konstante ist (T ~ 1/k), kann mit dem folgenden Programm im Rechenfenster von Rechner.html nachgewiesen werden.  

n=200; k=1,6; h= 0,001; b = b + k*b*h; L=b;t=t + h; y=k;x=t; k*t: ( Einstellung auf „Mit Wiederholung“)

Die Berechnungen werden beendet, wenn L = b den Wert 200 erreicht.

Ausführung

k*t wird als Rechenergebnis unter dem Eingabefeld ausgegeben. Mit b =100 im Variablenfeld ( b=100 muss nach jeder Rechnung erneut eingetragen werden) wurde die folgende Tabelle im Tabellenfenster erhalten.

T; k

3,47;0,2

1,74;0,4

0,87;0,8

0,44;1,6

k · T = 0,694    →       T = 0,694/k

↓

y =100 · 2^{t /T}  = 100 · 2 ^{k·t / 0,694}

1 /0,694 = 1,441

↓

y = 100 · 2^1,441·k·t   =  100 · (2^1,445)^k·t

Zur Vereinfachung dieses Terms wird 2^1,445 = 2,715 als Basis gewählt und mit e bezeichnet. So kann geschrieben werden:

y = f(t)  = b₀ · e ^k·t ;   b₀ = 100

e als Grenzwert von (1+ c)^c

Der oben angegebene Gleichung für das Bakterienwachstum soll nun hergeleitet werden. Für den Zuwachs Δb von b Bakterien in einem kleinen Zeitabschnitt Δt gilt:

k = Δb / (b· Δt) → Δb = b· k · Δt

Hierbei wird vorausgesetzt, dass b innerhalb von Δt konstant ist. b ist aber nicht konstant in Δt, sondern ändert sich innerhalb dieses kleinen Zeitabschnitts. Der dadurch bedingte Fehler ist jedoch nicht nennenswert, wenn Δt sehr klein gewählt ist. 

Wenn wir die Bakterienzahl am Anfang und Ende von Δt (Δt₁) mit b₀ und b₁ bezeichnen, dann gilt:

b₁ = b₀ + b₀ · k · Δt = b₀ · (1+ Δt · k)

Hieraus folgt für den nächsten Abschnitt Δt:    b₂ = b₁ + b₁ · k · Δt   =   b₁ · (1+ Δt ·k)

Unter Berücksichtigung von  b₁ = b₀ · (1+ Δt · k) folgt hieraus:   b₂ = b₀ · (1+ Δt ·k)²

Nach der Zeit t = j · Δt gilt:  b_j =  b₀·(1+ Δt ·k)^j.

b_j = b₀ · (1+ Δt · k)^j ;     j  = t /Δt →     b_j = b_t = b₀ · (1+ Δt · k)^t/Δt   

Um einen Vergleich mit y= f(t)  = b₀ · e ^k·t zu ermöglichen, wird der Exponent t/Δt von (1+ Δt · k)^t/Δt   mit k erweitert.

↓

b_t = b₀·(1+ Δt·k)^{(k · t) / (k · Δt)}       →     b_t = b₀· [(1+ Δt·k)^{1/ ( k · Δt )} ] ^{k · t}

1/( k · Δt) = c

↓

b_t = b₀· [(1+ 1/c)^c ]^{k · t} = y

y = f(t)  = b₀ · e ^k·t

Vermutlich gilt: [(1+ 1/c)^c ] = e. Oben wurde darauf hingewiesen, dass die Gleichung Δb = b · k · Δt nur bei sehr kleine Werten von Δt als passend angesehen werden kann. Es ist deshalb mit kleinen Abweichungen zwischen [(1+ 1/c)^c ] und e zu rechnen. Sie werden voraussichtlich gegen 0 streben, wenn die Werte von Δt sich der 0 nähern, wobei c gegen  strebt.

Die Überprüfung dieser Vermutung erfolgt mit der hier verfügbaren Rechner In das Rechenfenster wir die Zeile „a=a+1; c=4^a; x=(1+1/c)^c „ eingetragen und danach wird mehrmals das Gleichheitszeichen angeklickt. Deutlich ist dabei zu erkennen, wie sich der Wert des Terms (1+1/c)^c mit wachsendem c=4; 16; 256; 65536... dem Grenzwert 2,718.... nähert.

Die Folge der Werte (1+1/c) ^c verhält sich ähnlich wie die Zahlenfolge 0,9;  0,99;  0,999;  0,9999;  0,99999............. Auch die Glieder dieser Zahlenfolge nähern sich nach und nach immer mehr einer als Grenzwert bezeichneten Zahl. Der Grenzwert der Folge 0,9;  0,99;  0,999;  0,9999;  0,99999............. ist 1.

Angesichts dieser Tatsache ist es sinnvoll, e als Grenzwert von (1+1/c)^c zu definieren.