2.9  Additionstheoreme der Winkelfunktionen

Die im letzten Kapitel angegebenen Transformationsgleichungen ermöglichen einige interessante Schlussfolgerungen. Der Abstand r eines Punktes P vom Koordinatennullpunkt bilde mit der x-Achse den Winkel α. Er hat die Koordinaten: x = r ·cos(α) , y= r · sin(α).

Abb.1

P werde bei konstantem r um den Winkel β linksherum gedreht und heißt dann P'. Für die x' und y' - Koordinaten des gedrehten Punktes P' gilt:

x'­ = r · cos(β) ·cos(α) - r · sin(β) ·sin(α) und außerdem x' = r · cos( α + β),

y' = r ·cos(β) · sin(α) + r · sin(β) · cos(α) und außerdem y' = r · sin( α + β)

↓

r·cos( α + β) = r·cos(β) ·cos(α) - r · sin(β) ·sin(α)

r ·sin( α + β) = r ·cos(β) ·sin(α) + r ·sin(β) ·cos(α)

↓

Additionstheoreme der Winkelfunktionen Kosinus und Sinus

cos(α + β) = cos(β) · cos(α) - sin(β) · sin(α)

sin( α + β) = cos(β) · sin(α) + sin(β) · cos(α

Damit kann nun auch ein Additionsgesetz für die Tangensfunktion hergeleitet werden.

tan( α + β) =  sin (α + β) / cos (α + β)

tan( α + β) = (sin α · cos β + cos α · sin β) /( cos α · cos β - sin α · sin β)

Dieser Bruchterm wir mit cos α · cos β gekürzt.

tan( α + β) = ( sin α / cosα + sin β / cos β)/ [1 – (sin α/ cosα)  · (sin β / cos β)]

↓

tan( α + β) = ( tan α + tan β) / ( 1 – tan α · tan β)

Berechnung von Sinus- und Kosinuswerten  mit Hilfe der Additionstheoreme

Die letzten Gleichungen sind als Additionstheoreme der Winkelfunktionen bekannt. Mit ihrer Hilfe können die Sinus-  und  Kosinus-Werte  für jeden beliebigen Winkel α berechnet werden. Wenn z.B. sin(50°) und cos(50°) bestimmt werden sollen, dann  geht  man zu diesem Winkel bei 0,1° beginnend in kleinen Schritten von beispielsweise 0,1°. cos(0,1°) kann gleich 1 und sin(0,1°) kann mit dem zu   0,1° gehörenden Bogenmaß arc(0,1°) = 2· π/3600 = 0,0017453283.. gleich gesetzt werden.

1. Schritt: Berechnung von sin(0,2°) = sin(0,1°+0,1°) und   cos(0,2°)= cos(0,1°+0,1°)

sin(0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) =  sin(0,1°)  · cos(0,1°) +  sin(0,1°) ·cos(0,1°)

= sin(0,1°)  + 0,0017453283 · cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°) = cos(0,1°) · cos(0,1°) - sin(0,1°) · sin(0,1°)

= cos(0,1°)   -  0,0017453283· sin(0,1°) 

2. Schritt: Berechnung von sin(0,3°) = sin(0,2°+0,1°) u. cos(0,3°) = cos(0,2°+ 0,1°)

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) = sin(0,2°)  · cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(0,2°)

=  sin(0,2°)  + 0,0017453283  ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · cos(0,1°) - sin(0,2°) · sin(0,1°)

= cos(0,2°) - sin(0,2°) · 0,0017453283

usw.

sin (α +0,1°) = sin(α)  · cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(α) =  sin(α) + 0,0017453283  ·cos(α)

cos( α +0,1°) = cos(α) · cos(0,1°) - sin(α) · sin(0,1°) = cos(α) - sin(α) · 0,0017453283

Mit dem folgenden Programm in Sim.html werden die Graphen in der Abb.2 zu y = sin(x) (rot) und z = cos(x) (grün) angelegt .

„ n =360 ; x=x +0,1;y = y+ 0,0017453283*z; z =z - y*0,0017453283; L=x “

Anmerkung: x = α bzw. α +0,1, y = sin( α + 0,1°) bzw. sin( α ), z = cos( α+ 0,1°) bzw. cos( α )

Abb. 2