2.9  Additionstheoreme der Winkelfunktionen

Die im letzten Kapitel angegebenen Transformationsgleichungen ermöglichen einige interessante Schlussfolgerungen. Der Abstand r eines Punktes P vom Koordinatennullpunkt bilde mit der x-Achse den Winkel α. Er hat die Koordinaten: x = r ·cos(α) , y= r · sin(α).

Abb.1

P werde bei konstantem r um den Winkel β linksherum gedreht und heißt dann P'. Für die x' und y' - Koordinaten des gedrehten Punktes P' gilt:

x'­ = r · cos(β) ·cos(α) - r · sin(β) ·sin(α) und außerdem x' = r · cos( α + β),

y' = r ·cos(β) · sin(α) + r · sin(β) · cos(α) und außerdem y' = r · sin( α + β)

↓

r·cos( α + β) = r·cos(β) ·cos(α) - r · sin(β) ·sin(α)

r ·sin( α + β) = r ·cos(β) ·sin(α) + r ·sin(β) ·cos(α)

↓

Additionstheoreme der Winkelfunktionen Kosinus und Sinus

cos(α + β) = cos(β) · cos(α) - sin(β) · sin(α)

sin( α + β) = cos(β) · sin(α) + sin(β) · cos(α

Damit kann nun auch ein Additionsgesetz für die Tangensfunktion hergeleitet werden.

tan( α + β) =  sin (α + β) / cos (α + β)

tan( α + β) = (sin α · cos β + cos α · sin β) /( cos α · cos β - sin α · sin β)

Dieser Bruchterm wir mit cos α · cos β gekürzt.

tan( α + β) = ( sin α / cosα + sin β / cos β)/ [1 – (sin α/ cosα)  · (sin β / cos β)]

↓

tan( α + β) = ( tan α + tan β) / ( 1 – tan α · tan β)

Mit Hilfe der Additionstheoreme können Sinus-  und  Kosinus-Werte  für jeden beliebigen Winkel α sehr genau berechnet werden. Wenn z.B. sin(50°) und cos(50°) bestimmt werden sollen, dann  geht  man zu diesem Winkel bei 0,1° beginnend in kleinen Schritten von beispielsweise 0,1°. sin(0,1°) kann mit dem zu   0,1° gehörenden Bogenmaß b = 2· π/3600 gleich gesetzt werden. Unter Berücksichtigung der Gleichung sin(α)² + cos(α)² = 1 → cos(α) = √ ( 1 - sin(α)²) wird für den zugehörenden Kosinuswert c =√[1- (2· π/3600)² ] eingesetzt.

Erster Rechenschritt:

sin(0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) =  sin(0,1°)  · cos(0,1°) +  sin(0,1°) ·cos(0,1°)

= sin(0,1°)  · c + b · cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°) = cos(0,1°) · cos(0,1°) - sin(0,1°) · sin(0,1°)

= c · cos(0,1°)   -  b · sin(0,1°) 

Zweiter Rechenschritt:

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) = sin(0,2°)  · cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(0,2°)

=  sin(0,2°) · c  + b  ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · cos(0,1°) - sin(0,2°) · sin(0,1°)

= cos(0,2°)· c - sin(0,2°) · b

usw.

sin (α +0,1°) = sin(α) ·cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(α) =  sin(α)· c + b ·cos(α)

cos( α +0,1°) = cos(α) · cos(0,1°) - sin(α) · sin(0,1°) = cos(α)· c - sin(α) · b

Mit dem nachfolgenden Programm in Simadd.html werden die Graphen (siehe Abb.2) zu y = sin(x) (rot) und z = cos(x) (grün) nach dieser schrittweisen Berechnung angelegt . Für z, den Anfangswert von cos(x), muss 1 eingetragen sein.

„ n=360 ; b =2*pi/3600;c=wrz(1-(b)^2);x=x +0,1; s=y;y = s*c+ b*z;z=z*c - s*b;L=x “

Anmerkung: x = α bzw. α +0,1, y = sin( α + 0,1°) bzw. sin( α ), z = cos( α+ 0,1°) bzw. cos( α )

Abb. 2