2.9 Transformationsgleichungen für eine Drehung

Lässt man über einer rotierenden Malfläche einen Farbstift schwingen, dann können sehr ansprechende Bilder entstehen, wie z.B. das in der Abb.1. Die Grafik in dieser Abbildung wurde mit dem folgenden Programm in SimD1.html erzeugt:

n=2;s= 6*sin(4*pi*t);f=1*pi;x=s*cos(f*t);y=s*sin(f*t);t=t+0,001;L=t

Sie kann als die Spur eines schwingenden Farbstifts auf einer Malfläche gedeutet werden, die sich unter diesem Stift mit der Winkelgeschwindigkeit ω = α_Bogenmaß /t_Drehung = 2·π / T_R rechts herum dreht (T_R = 2s = Umlaufzeit, f = f_Programm = ω). Er muss zur Erzeugung dieser Spur auf der x-Achse eines ruhenden Koordinatensystems S' (siehe Abb. 2) um den Drehpunkt der Malfläche nach s = x' = 6·sin[(2·π/ T_S) ·t] mit der Schwingungszeit T_S = 0,5 s schwingen . Das in der Abb. 2 sichtbare rote Koordinatensystem S liegt auf der rotierenden Malfläche. Seine x-Achse dreht sich in der Zeit t um den den Winkel α weg von der entsprechenden Achse des ruhenden Systems. Beide Systeme haben ihren Nullpunkt auf der Rotationsachse.

Für die x- und y-Koordinaten im rotierenden System S gilt:

x/x' = cos (α) → x = x'· cos (α)

y/x' = sin (α) → y = x'· sin (α)

α = (2·π/ T_R )·t

In dem Hier beschriebenen Fall ist die Schwingungszeit T_S des Farbstifts kleiner als die Umlaufzeit T_R der Malfläche.

Welche Grafik entsteht, wenn T_S < T_R ist ?

Eine Grafik wie in der Abb. 3 entsteht nach dem folgenden Programm in SimD2.html mit T_S= 1s und T_R = 4,5 s.

n=2; s= 5*sin(2*pi*t);f=9*pi;x=s*cos(f*t);y=s*sin(f*t);t=t+0,001;L=t

Abb. 3

Wie sieht eine Grafik aus, wenn der Farbstift nicht auf einer Achse des ruhenden Koordinatensystem S' sondern stattdessen parallel zur y – Achse schwingt?

Zur Beantwortung dieser Frage sind Gleichungen erforderlich, mit denen zu einem Punkt P(x',y') des Farbstifts die zugehörenden Koordinaten x, y auf der rotierenden Fläche berechnet werden können. An der Abb. 4 ist sofort erkennbar:

x = x'· cos (α) - y'· sin (α)

y= x'· sin (α) + y'· cos (α)

Abb.4

Nach dem folgenden Programm in SimD3.html entsteht die Grafik in der Abb.5. Sie wird von einem Farbstift erzeugt, der nach s = y' = 4·sin[(2·π/ T_R)·t] um die x' Achse mit dem Abstand r zur y'-Achse schwingt ( T_R = 0,5 s).

n=2; s= 4*sin(4*pi*t); r=1;f=1*pi;x=r*cos(f*t)-s*sin(f*t);y=s*cos(f*t)+r*sin(f*t);t=t+0,001;L=t

Abb.5