2.7  Sinussatz, Kosinussatz und Skalarprodukt

Aufgaben:

Es soll nun versucht werden,  ein beliebiges Dreieck mit Hilfe gegebener Winkel zu berechnen.

1. In einem Dreieck seien die Winkel α und β sowie die Seite b bekannt. Durch diese drei Größen ist das Dreieck eindeutig festgelegt (wsw – Satz). Eine Berechnung von a und c sollte möglich sein. Zur Anwendung von sin und cos müssen rechtwinklige Dreiecke vorliegen. Rechtwinklige Dreiecke erhält man durch Einzeichnen der Höhe h (siehe Abb. 1).

Abb. 1

h / b = sinα;   h / a = sinβ   →    h = b · sinα;   h = a · sin b

→   b · sinα  = a · sinβ      →     b / a = sinβ  / sinα

 Zwei Seiten verhalten sich zueinander wie die Sinuswerte der Gegenwinkel.

Sinussatz !

b = 6 cm;  α = 70°;   b = 30°

a = b · sinα / sinβ = 11,27 cm

c / a = sinγ / sinα = sin 80° / sin 70°     →      c = a · sin 80° / sin 70° = 11,81 cm

2. Zu einem Dreieck seien b, c und  α bekannt. a soll berechnet werden.

a² = d² + h² ;  h = b · sinα

(c - d) / b = cosα ;    c – d = b · cosα;   d = c – b · cosα

→    a² = (  c – b · cosα )² + (b · sinα)²

→    a² = c² – 2· c · b· cosα + b² · cos²α + b² · sin² α

→    a² = c² – 2· c · b·cosα + b² · (cos² α +  sin² α );   cos² α +  sin² α  = 1     →    a² =  b² + c² – 2· c · b· cos α

Zur Berechnung a=wrz(b^2+c^2-2*c*b*cosg(d)) im Rechenprogramm eingeben und die Werte für b, c und d(Winkel im Gradmaß) eintragen.

Abb. 2

Kosinussatz: Subtrahiert man von der Summe aus den Quadraten zweier Seiten das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, dann erhält man das Quadrat der dritten Dreieckseite.

b = 5cm; c = 8cm; α = 40°

a² = 25 +64   – 80 · cos 40° = 89 - 80 · cos 40° 27, 7   →    a = 5,26 cm

3. Die Koordinaten der Vektoren a und b seien gegeben.

Es soll der Winkel α bestimmt werden, den diese beiden Vektoren miteinander bilden.

Abb. 3

Nach dem Kosinussatz gilt:

|c|² = |a|² + |b|² – 2 · |a| · |b| · cosα

|a|² = a₁² + a₂² ; |b|² = b₁² + b₂²

b + c = a →   c = a – b  (Vektoren )

→ c₁ = a₁ – b₁ ; c₂ = a₂ – b₂   →    |c|² =  (a₁ – b₁)²  +  (a₂ – b₂)²

→   (a₁ – b₁)²  +  (a₂ – b₂)² =  a₁² + a₂²  +  b₁² + b₂² – 2 · |a| · |b| · cosα

→     - 2· a₁ · b₁ -  2 · a₂ · b₂ = – 2 · |a| · |b| · cosα

↓

 a₁ · b₁ + a₂ · b₂ =  |a| · |b| · cosα      →      cosα = (a₁ · b₁ + a₂ · b₂) /(|a| · |b|)

a₁ · b₁ + a₂ · b₂ heißt Skalarprodukt der Vektoren a und b. Das Skalarprodukt beschreibt das Produkt aus den Vektorbeträgen und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels.