9. Zentrische Streckung
Abb. 1
In der Abb. 1 ist der Kopf des Lehrers Lämpel ( aus Max und Moritz von Wilhelm Busch) zu sehen. Den Punkten P(x;y) des kleineren Kopfes sind Punkte P'(2·x;2·y) zugeordnet. Diese Punkte P' bilden ein vergrößertes Bild des Lehrers. Man spricht von einer Streckung S(Z(0;0); 2).
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Nach Wahl eines Zentrums Z und eines Streckungsfaktors m wird einem Punkt P ein Punkt P' auf der Geraden ZP zugeordnet mit dem Abstand: P'Z= |m| · Abstand PZ. m > 0: P’ und P liegen von Z aus gesehen in der gleichen Richtung. m < 0: Z liegt zwischen P und P’. |
Abb. 2 |
Bei zentrischer Streckung von Strecken fällt auf, dass eine Strecke [AB] auf eine parallele Strecke [A’B’] abgebildet wird, die um den Faktor |m| länger ist als [AB]. Dieser Sachverhalt kann leicht mit Hilfe des Strahlensatzes bewiesen werden ( siehe Abb. 3) .
Abb. 3
Beweis:
Mit S(Z; m) werde eine Strecke [AB] auf eine Strecke [A’B’] abgebildet. Nach der Definition der zentrischen Streckung gilt:
Nach der Umkehrung des Strahlensatzes sind unter diesen Bedingungen A’B’ und AB parallel. Folglich wird eine Strecke [AB] auf eine parallele Strecke [A’B’] abgebildet.
Aus der Parallelität von Gerade und Bildgerade folgt, dass Winkel auf kongruente Winkel abgebildet werden. Man nennt die zentrische Streckung winkeltreu.
Nach dem Strahlensatz gilt:
Die Bildstrecke [A’B’] ist um |m| größer als [AB].
Grundkonstruktionen zur zentrischen Streckung (anklicken !)
Zentrische Streckung mit einem Storchschnabel
