5. Der Höhen- und Kathetensatz·

Die im 1. Kapitel ( Satz des Pythagoras) genannten Dachsparren sollen noch durch Balken der Länge h_c abgestützt werden. Bei Kenntnis von a, b und c muss h_c ( Höhe im rechtwinkligen Dreieck) berechnet werden.

Abb. 1

Auf der Suche nach einer Gleichung, in der h_c enthalten ist, lassen wir uns von der Frage leiten:

Welche Größen erscheinen zur Berechnung von h am besten geeignet ?

p und q kommen in Frage. Die zugehörenden Strecken werden Hypotenusenabschnitte genannt. Der Fußpunkt der Höhe h_c teilt die Hypotenuse in diese Abschnitte.

h² + q² = a² , h² + p² = b²  → 2· h² + q²+ p² = a² + b² = c² = (p +q)²  → 2· h² + q² + p² = q² + p² + 2 · p · q → 2· h² = 2 · p · q

↓

h² = p · q

Höhensatz: Im rechtwinkligen Dreieck gleicht das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte  dem Quadrat der Höhe.

p und q sind leicht anhand der Dreieckseiten berechenbar.

p² + h² = b², h² = p · q  →   p² + p · q = b²  → p · ( p + q ) = b² , p + q = c → p · c = b² → p = b² / c

Entsprechendes gilt für a und q: q = a² /c

Kathetensatz: Das Quadrat einer Kathete gleicht dem Produkt aus dem zugehörenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse.

Eine anschauliche Herleitung des Kathetensatzes ist mit den nachfolgenden Abbildungen dargestellt.

Die halbe Fläche der Kathete über der Seite b liegt in dem Dreieck ACD. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ändert sich nicht, wenn sein Eckpunkt bei C nach B verschoben wird, denn für den Flächeninhalt des alten und neuen Dreiecks gilt: A = Grundseite ·Höhe /2 = b·b/2. Anschließend wird das Dreieck ABD um A um 90° nach rechts gedreht. Es liegt dann als Dreieck AEC vor. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ändert sich nicht, wenn sein Eckpunkt C nach F verschoben wird, denn vor der Verschiebung und nach der Verschiebung gilt für den Flächeninhalt: c·p/2.

↓

c · p /2 = b ·b /2 → c · p = b²

c · p = b² , c · q = a² → a² + b² = c · p + c· q = c · (p+q) = c² (Satz des Pythagoras)