5. Der Höhen- und Kathetensatz
Die im 1. Kapitel ( Satz des Pythagoras) genannten Dachsparren sollen noch durch Balken der Länge hc abgestützt werden. Bei Kenntnis von a, b und c muss hc ( Höhe im rechtwinkligen Dreieck) berechnet werden.
Abb.1
Auf der Suche nach einer Gleichung, in der hc enthalten ist, lassen wir uns von der Frage leiten:
Mit welchen Größen kann h berechnet werden ?
p und q kommen in Frage. Die zugehörenden Strecken werden Hypotenusenabschnitte genannt. Der Fußpunkt der Höhe hc teilt die Hypotenuse in diese Abschnitte.
h2 + p2 = a2 , h2 + q2 = b2 → 2· h2 + q2+ p2 = a2 + b2 = c2 = (p +q)2 → 2· h2 + q2 + p2 = q2 + p2 + 2 · p · q → 2· h2 = 2 · p · q
↓
h2 = p · q
Höhensatz: Im rechtwinkligen Dreieck gleicht das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte dem Quadrat der Höhe.
p und q sind leicht anhand der Dreieckseiten berechenbar.
p2 + h2 = a2, h2 = p · q → p2 + p · q = a2 → p · ( p + q ) = a2 , p + q = c
↓
p · c = a2 → p = a2 / c
Entsprechendes gilt für a und q: q = b2 /c .
Kathetensatz: Das Quadrat einer Kathete gleicht dem Produkt aus dem zugehörenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse.
Eine anschauliche Herleitung des Kathetensatzes ist mit den nachfolgenden Abbildungen 2 und 3 dargestellt.
Abb.2 Abb.3
Der Flächeninhalt des Dreiecks ACD ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete b. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks bleibt gleich, wenn sein Eckpunkt bei C nach B verschoben wird, denn die Grundseite = b und die Höhe = b ändern sich dabei nicht.
Anschließend wird das Dreieck ABD 90° um A nach rechts gedreht. Es liegt dann als Dreieck AEC vor. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ändert sich nicht, wenn sein Eckpunkt C nach F verschoben wird, denn vor der Verschiebung und nach der Verschiebung gilt für den Flächeninhalt: A= ½ ·c·q.
↓
½ ·c · q = ½ ·b ·b → c · q = b2
c · q = b2 , c · p = a2 → a2 + b2 = c · q + c· p = c · (p+q) = c2
Satz des Pythagoras