5.
Der Höhen- und Kathetensatz·
Die im 1. Kapitel ( Satz des Pythagoras) genannten Dachsparren sollen noch durch Balken der Länge hc abgestützt werden. Bei Kenntnis von a, b und c muss hc ( Höhe im rechtwinkligen Dreieck) berechnet werden.
Abb. 1
Auf der Suche nach einer Gleichung, in der hc enthalten ist, lassen wir uns von der Frage leiten:
Was kann man mit a, b, c und hc berechnen ?
Es kann der Flächeninhalt A des Dreiecks bestimmt werden.
A = a · b /2 ; A = hc · c / 2 → hc · c / 2 = a · b / 2 → hc = (a · b ) / c
Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte p und q.
Abb. 2
q2 + hc2 = b2 → q2 = b2 – hc2
hc2 = (a·b /c)2 , q2 = b2 – hc2 → q2 = b2 – (a·b /c)2 = b2 – a2 · b2 / c2 = b2 · (1 – a2 /c2 )
q2 = b2· (c2 ·– a2 ) / c2 = b2· (a2 + b2 - a2 ) / c2 = b2· b2 / c2 = ( b2 /c)2
q = b2 / c
Eine entsprechende Gleichung kann auch für p aufgestellt werden : p = a2 / c
Kathetensatz: Das Quadrat einer Kathete gleicht dem Produkt aus dem zugehörenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse.
Eine anschauliche Herleitung des Kathetensatzes ist mit den nachfolgenden Abbildungen dargestellt.
Die halbe Fläche der Kathete über der Seite b liegt in dem Dreieck ACD. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ändert sich nicht, wenn sein Eckpunkt bei C nach B verschoben wird, denn für den Flächeninhalt des alten und neuen Dreiecks gilt: A = Grundseite ·Höhe /2 = b·b/2. Anschließend wird das Dreieck ABD um A um 90° nach rechts gedreht. Es liegt dann als Dreieck AEC vor. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ändert sich nicht, wenn sein Eckpunkt C nach F verschoben wird, denn vor der Verschiebung und nach der Verschiebung gilt für den Flächeninhalt: c·p/2.
↓
c·p/2 = b·b/2 → c·p = b2
c·p = b2 , c·q = a2 → a2 + b2 = c·p + c·q = c· (p+q) = c2 (Satz des Pythagoras)
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Abb.3 |
Abb.4 |
Für hc wurde hergeleitet: hc = (a · b ) / c → hc2 = ( a2 · b2 ) / c2 → hc2 = a2 / c · b2 / c
→ hc2 = p · q
Höhensatz: Im rechtwinkligen Dreieck gleicht das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte dem Quadrat der Höhe.
