4 . Quadratische Gleichungen
Aufgabe:
Es wird ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge c = 20 cm gewünscht, dessen eine Kathete um 6 cm länger ist als die andere Kathete.
a = x, b = x+6, c = 20
x² + (x + 6)² = 400 → x² + x² +12x +36 = 400 → 2x² +12x = 364
↓
x² +6x = 182 → x² + 6x - 182 = 0
Eine Gleichung wird quadratisch genannt, wenn sie durch Äquivalenzumformungen in die Form a · x² + b · x + c = 0 gebracht werden kann. In dem hier vorliegenden Beispiel gilt: a = 1; b = 6; c = -182.
Auf der Suche nach einem allgemeinen Lösungsverfahren werden zunächst einfachere quadratische Gleichungen behandelt, in der Hoffnung, dass sich dabei Anregungen zur Entwicklung eines allgemeinen Lösungsverfahrens ergeben.
Beispiel einer sehr einfachen quadratischen Gleichung:
x2 =d → |x| = √(d) → x = ± √(d)
Zur Verwendung des Betragszeichens muss auf die Definition des Wurzelbegriffs hingewiesen werden.
Definition: Die Wurzel aus d ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat d ist.
Hiernach ist √(d) immer positiv.
Da die Lösung von x2 = d sowohl positiv wie negativ sein kann, muss statt x = √(d) die Gleichung |x| = √(d) geschrieben werden.
Ist z.B. d = 25, dann gilt: x2 = 25, |x| = √(25), Lösungsmenge = {-5;+5}.
Beispiel einer etwas komplizierteren Gleichung: (x+2)2 = d → |x+2| = √(d) → x+2 = ± √(d) → x1 = -2 + √(d), x2 = - 2 - √(d)
Die Gleichung (x + 2)2 = d kann in die Form a · x2 + b · x + c = 0 gebracht werden.
(x + 2)2 = d → x2 + 4·x + 4 = d → x2 + 4·x + (4 – d) = 0
a = 1; b = 4; c = 4 – d
Die gerade behandelte Gleichung x2 + 4·x + (4 - d) = 0 ähnelt der anfangs gegebenen Gleichung x2 + 6·x –182 = 0. Vermutlich kann x2 + 6·x –182 = 0 in die Form (x + e)2 = d gebracht werden.
x2 + 6 · x – 182 = 0 → x2 + 6 ·x = 182 → x2 + 6 · x + 9 = 182 + 9
↓
(x+3)2 = 191 → |x+3| = √(191) → x+3 = ± √(191)
↓
x1 = -3 + √(191) , x2 = -3 - √(191)
Die eingefügte 9 ermöglicht die Umwandlung der rechten Seite in ein Quadrat. Diese 9 heißt quadratische Ergänzung.
9 = (6/2)2
Wenn der Faktor (a vor x2) = 1 ist, dann erhält man die passende quadratische Ergänzung, indem man die Hälfte des bei x stehenden Faktors quadriert.
Allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung
a · x2 + b· x + c = 0
Wird die Gleichung beiderseits durch a geteilt, dann entsteht eine äquivalente Gleichung mit dem Faktor 1 vor x2.
x2 + (b/a) · x + c/a = 0 → x2 + (b/a) · x = - c/a
Nun wird die quadratische Ergänzung (½· b/a)2 beiderseits addiert.
x2 + (b/a) · x + (½· b/a)2 = - c/a + ((½· b/a)2
↓
= ( x + ½ · b/a )2 = - c/a + ¼ · b2/a2
Beide Seiten werden mit 4 · a2 multipliziert.
4 · a2 · ( x + ½ · b/a )2 = b2 - 4 · a · c
Von beiden Seiten werden Wurzeln gebildet.
↓
|2·a · (x+ ½ ·b/a)| =| 2·a · x + b | = √(b2 – 4·a·c)
↓
2·a · x + b = ± √(b2 – 4·a·c)
↓
x1,2 = [-b ± √(b2 – 4·a·c) ] / (2·a)
Lösung einer Quadratischen Gleichung mit dem hier vorhandenen Online-Rechner
Die Diskriminante
Anhand des in der Wurzel stehenden Terms b2 – 4 · a · c = D kann entschieden werden, ob die quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat
D = 0: Es gibt nur die Lösung - b/ (2 · a).
D > 0 : Es gibt zwei Lösungen.
D < 0: Es gibt keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gebildet werden kann. Es gibt keine Zahl deren Quadrat negativ ist.
b2 – 4 · a · c trägt den Namen „Diskriminante“
Mit Hilfe des Satzes von Vieta können die Lösungen manchmal sofort angegeben werden.
Quadratische Gleichungen liegen meistens nicht in der Form a· x2 + b· x + c = 0 vor. Sie müssen durch Äquivalenzumformungen in diese Form gebracht werden.
Äquivalenzumformungen von quadratischen Gleichungen (anklicken !)
Mit Hilfe des hier vorhandenen Grafikprogramms können quadratische Gleichungen graphisch gelöst werden.
Anmerkung: Quadratische Gleichungen und solche höheren Grades können mit dem hier verfügbaren Online-Programm Nullstellen gelöst werden.