2. Bestimmung einer Wurzel durch Iteration
Aufgabenstellung:
Es soll die Lösung von x² = c ( z. B. c = 41) bestimmt werden.
c = x² ↔ c = x · x ↔ c/x = x
Die Suche nach der Lösung beginnt mit einem Schätzwert x1 .
Der wahre Wert x ( Lösung von c = x² ) liegt zwischen c/x1 und x1
Begründung:
Ist x1 < x, dann gilt c/x1 > x , denn mit kleiner werdendem Nenner wird der Quotient größer.
Der Mittelwert x2 von c/x1 und x1 liegt näher am gesuchten Wert x .
x2 = (x1 + c/x1) /2
Noch besser passt x3 = (x2+ c/x2)/2 und dann x4 = (x3+ c/x3)/2.
Diese schrittweise Annäherung an die richtige Lösung mit x1, x2, x3, x4 usw. heißt Iteration (Iter: lateinisch der Schritt).
Die Iteration kann sehr schnell mit dem hier verfügbaren Online - Rechenprogramm durchgeführt werden. In das Rechenfenster wird die Programmzeile „x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x)“ geschrieben (kopieren/einfügen ohne Anführungs-zeichen!).
Im Variablenfeld wird für c der gewünschte Wert und für x die Zahle 1 als erster Schätzwert eingetragen.
An die oben gegebene Formel zur iterativen Ermittlung von √ c soll nun noch auf eine etwas andere Art herangeführt werden. Es wird wieder von einem Schätzwert x1 ausgegangen. Der zugehörende Fehler f wird mit der Gleichung (f + x1 )2 = c ermittelt.
(f + x1 )2 = c ↔ f2 + 2 · f ·x1 + x12 = c
f2 , das Quadrat eines vermutlich kleinen Fehlers erscheint im Vergleich zu 2 · f ·x1 vernachlässigbar.
2 · f ·x1 + x12 ≈ c → f ≈ (c - x12) / (2 · x1)
Einen besserer Wert für √c ist x2 = x1 + (c - x12) / (2 · x1 ) = (2· x12 + c - x12) / (2 · x1 ) = ( x12 + c ) / (2 · x1 ) = (x1 + c / x1) /2