2. Bestimmung einer Wurzel durch Iteration

Aufgabenstellung:

Es soll die Lösung von  x² = c  ( z. B. c = 41) bestimmt werden.

c = x²      ↔       c = x · x      ↔       c/x = x

x₁ sei eine etwas ungenaue, geschätzte Lösung.

Der wahre Wert x ( Lösung von c = x² ) liegt zwischen c/x₁ und x₁

Begründung:

Ist x₁ < x, dann gilt: c/x₁ > x

Mit kleiner werdendem Nenner wird der Quotient größer.

Der Mittelwert x₂ von  c/x₁ und x₁ liegt dem Wert x näher.

x₂ = (x₁ + c/x₁) /2

 Noch besser passt x₃ = (x₂+ c/x₂)/2 und dann x₄ = (x₃+ c/x₃)/2.

Diese schrittweise Annäherung an die richtige Lösung mit x₁, x₂, x₃, x₄  usw. heißt Iteration (Iter: lateinisch der Schritt).

Die Iteration kann sehr schnell mit dem hier verfügbaren Online - Rechenprogramm  durchgeführt werden. In das Rechenfenster wird x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x);x=0,5*(x+c/x) geschrieben (kopieren/einfügen !). Im Variablenfeld wird für c der gewünschte Wert und als Anfangswert von x die Zahl 1 eingetragen.

An die oben gegebene Formel zur iterativen Ermittlung von √ c soll nun noch auf eine etwas andere Art herangeführt werden. Es wird wieder von einem Schätzwert x₁ ausgegangen. Der zugehörende Fehler f wird mit der Gleichung (f + x₁ )² = c ermittelt.

f² + 2 · f ·x₁ + x₁² = c

f² , das Quadrat eines vermutlich kleinen Fehlers erscheint im Vergleich zu 2 · f ·x₁ vernachlässigbar.

2 · f ·x₁ + x₁² ≈ c → f ≈ (c - x₁²) / (2 · x₁)

Einen besserer Wert für √c ist x₂ = x₁ + (c - x₁²) / (2 · x₁ ) = (2· x₁² + c - x₁²) / (2 · x₁ ) = (x₁ + c / x₁) /2