15. Vektoren

Aufgabe:

Eine Person schwimmt über einen Fluss mit der Geschwindigkeit v_q = 2m/ s quer zur Strömung (siehe Abb.1). v_q beschreibt die in einer Zeiteinheit erfolgende Zunahme des Abstands vom Startufer. Infolge der Strömungsgeschwindigkeit v_F = 1m/s hat die schwimmende Person eine Geschwindigkeit v > v_q.

Wie groß ist v ?

Abb.1

Zur Behandlung dieser Aufgabe werden die Geschwindigkeiten durch Pfeile dargestellt. Die Pfeile werden so angelegt, dass sie nicht nur die Bewegungsrichtungen, sondern auch noch mit ihren Längen deren Geschwindigkeiten anzeigen. Die Länge L eines Pfeils kann z.B. gleich dem Weg sein, den ein Körper in 1 s, in 0,1 s oder in 0,01 s zurücklegt. Je nach gewählter Zeit repräsentiert ein solcher Pfeil die Geschwindigkeiten v = L/1 s bzw. v = L/0,1 s bzw. v = L/0,01 s. Man sollte sich den Pfeil wie einen Zahlenstrahl skaliert vorstellen, so dass man an der Spitze den zugeordneten Wert ablesen kann. Derartige Pfeile setzt man immer dann ein, wenn neben der Angabe eines Maßes noch eine Richtungsbeschreibung nötig ist, man nennt sie Vektoren. Als Zeichen für Vektoren sind Buchstaben mit einem kleinen aufgesetzten Pfeil oder fett gedruckte Buchstaben üblich. Wird ein solcher Buchstabe in Betragszeichen gesetzt, dann meint man den sogenannten Vektorbetrag. Dieser entspricht seiner Länge. Die gesuchte Größe v wird durch den roten Pfeil dargestellt. v ( der Betrag des Vektors v ) erhält man nach dem Lehrsatz des Pythagoras nach v =| v | = √(v_q² + v_F² ) = √( 4+1) = 2,236 m/s. Der rote Vektor v wird als Summe der beiden anderen Vektoren bezeichnet. Unter der Summe zweier Vektoren a und b versteht man einen Vektor, der vom Fuß des Vektors a zur Spitze des Vektors b zeigt. b muss durch Parallelverschiebung an a angepasst sein (siehe Abb.2).

Zu einer Summe gehört ihr Gegenteil, die Differenz. Wenn die Vektoren a und b gleiche Fußpunkte haben, dann ist ein Pfeil von der Spitze des Vekors b zur Spitze von a die Vektordifferenz a-b (siehe Abb.3). In Bezug auf die Abb.1 gilt demnach: v -v_F = v_q (siehe Abb.4).

Aufgabe: Bestimme den Standort P der schwimmenden Person 7 s nach dem Start.

Zur Lösung dieser Aufgabe muss ein Koordinatensystem zur Ortsbeschreibung festgelegt werden (siehe Abb. 5)

Abb.5

Der Vektor s_q zeigt die Abweichung vom Flussufer nach 7 Sekunden und s_F die Verschiebung in der Strömungsrichtung. Beide Vektoren erhält man durch Streckung der Vektoren v_q und v_F um den Faktor 7s. s zeigt die Entfernung in Bezug auf einen am Ort (0;5 m ) stehenden Beobachter an. Er weist vom Punkt P(0;5 m) zum Ort P(15 m;12 m).

Die hier gestellte Aufgabe kann man auch ohne Zeichnung lösen, wenn man den Vektoren Koordinaten zuordnet. Die Koordinaten a₁ ; a₂; a₃ eines Vektors sind die Differenzen zwischen die Koordinaten der Spitze und denen des Fußes.

a₁ = x_Sp - x_F , a₂ = y_Sp - y_F , a₃ = z_Sp - z_F

a₃ wir nicht angegeben, wenn die in Betracht kommenden Vektoren in einer Ebene liegen.

Der Vektor s in der Abb.5 hat die Koordinaten {15 m ; 7m}. Man erhält sie, indem am die entsprechenden Koordinaten von s_q { 15m; 0} und s_F {0; 7m} addiert. Addiert man die Koordinaten des Startpunktes zu denen des Vektors s, dann erhält man die Koordinaten des gesuchten Punktes.

Die Beschreibung eines Vektors geschieht meistens mit der Angabe seiner Koordinaten, die man normalerweise zu einer mit Klammern eingefassten Säule (oben die x-Koordinate, dann die y-Koordinate und schließlich bei räumlichen Vorgängen noch die z-Koordinate), manchmal aber auch aus drucktechnischen Gründen in einer Reihe anordnet, z.B. so: a = {a₁ ; a₂; a₃}. Der Vektor v und s haben die Koordinaten {v_q ; v_F ) = { v₁ ; v₂} und { v₁· 7 s; v₂ · 7s}. Als Abkürzung wird für s = { v₁· 7 s; v₂ · 7s} geschrieben: s = 7 s · { v₁; v₂ } = 7 s · v. Hieran ist erkennbar, wie das Produkt aus einem Vektor a und einer Zahl z definiert ist.

z · a = z·{a₁ ; a₂ ; a₃} = {z · a₁ ; z · a₂ ; z · a₃}

Man nennt die hier beschriebene Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl skalare Multiplikation. Sie bewirkt eine Streckung des Vektors a um z (siehe Abb. 6 mit z =3).

Abb.6

Nach der Definition des hier beschriebenen Produkts ist man geneigt, nach einem entsprechenden Quotienten zu fragen. Ein Quotient a /m (Vektor a durch eine Zahl m) soll so beschaffen sein, dass folgendes gilt: (a/m) · m = a. (1/m) · a hat die Eigenschaft eines solchen Quotienten. Teilt man einen Vektor a durch seinen Betrag |a|, dann erhält man einen Einheitsvektor, einen Vektor mit dem Betrag 1.

Beispiel: a = {4; 3 }; |a| = √(16+9) = 5 → a / |a| = { 4/5; 3/ 5}

Anmerkung zum räumlichen Koordinatensystem (Rechtssystem): Die Koordinaten eines Punktes oder eines Vektors in einem Raum sind normalerweise einem Rechtssystem zuzuordnen. Dessen Eigenschaften sind: Die x, y und z-Achse verhalten sich ihrer Richtung nach wie der Daumen, der Zeige- und der Mittelfinger der rechten Hand, wenn der Mittelfinger von den beiden anderen rechtwinklig abgespreizt ist (siehe Abb.7). Das Quadrat des Vektorbetrags ist wie bei einem Vektor in der x - y - Ebene gleich der Summe aus den Quadraten der Koordinaten. Dies ist anhand der Abb7 leicht einzusehen. Der Vektor b ( |b| ² = a₁ ² + a₂ ²) ist die senkrechte Projektion des Vektors a auf die x-y-Ebene. Man nennt diese Projektion eine Vektorkomponente von a. Komponenten heißen auch die senkrechten Projektionen des Vektors a auf drei Achsen des Koordinatensystems. Ist eine solche Komponente der Koordinatenachse entgegen gerichtet, dann ist die zugehörende Vektorkoordinate negativ.

|a|² = a₃ ² + |b| ² ; |b| ² = a₁ ² + a₂ ² → |a|² = a₃ ² + a₂ ² + a₁ ²

b ist die Projektion von a in die x-y-Ebene !

An den Abbildungen 9 und 10 ist Folgendes erkennbar: Die Koordinaten von a + b erhält man, indem man die entsprechenden Koordinaten von a ={a₁; a₂} und b ={b₁; b₂} addiert und die Koordinaten von a - b erhält man , indem man die entsprechenden Koordinaten von a ={a₁; a₂} und b ={b₁; b₂} subtrahiert.

a + b = {a₁ + b₁ ; a₂ + b₂ ; a₃ + b₃}, a - b = {a₁ - b₁ ; a₂ - b₂ ; a₃ – b₃}

Anwendung von Vektoren zur Verschiebung und zentrischen Streckung eines Bildes

In der Abb.11 ist der Lehrer Lämpel aus Max und Moritz von Wilhelm Busch mehrfach zu sehen. Aus dem Tabellenfenster von SimvStr.html wurden die Koordinaten xT(j) und yT(j) der Punkte j des blauen Bildes nach und nach abgerufen. Den blauen Punkten wurden daraufhin mit dem über der Abbildung angegebenen Programm schwarze Punkt mit den Koordinaten u=xT(j)+1;v=yT(j)+5 zugeordnet. Dies entspricht einer Verschiebung nach dem Vektor v={1;5}. Anschließend wurde nach dem genannten Programm das schwarze Bild mit m=2 in Bezug auf das Zentrum Z(-1;5) zentrisch gestreckt. Z(-1,5) und P(u;v) können als Spitzen von sogenannten Ortsvektoren z_P = {-1;5} und p = {u;v} aufgefasst werden. So bezeichnet man Vektoren, die vom Nullpunkt des Koordinatensystems ausgehen.

p - z_P = {u+1;v-5}={b; c} weist vom Zentrum Z(-1;5) zum Punkt P(u;v) des Punktes j. Der Vektor z_P + m ·(p - z_P ) zeigt den Punkt P(x;y) an, das Ergebnis einer zentrischen Streckung des Punktes P(u;v) am Zentrum Z(-1,5) mit m = 2).

j=j+1;n=7000;m=2;u=xT(j)+1;v=yT(j)+5; b =u+1;c= v-5;x =b*m-1;y=c*m+5;L=j

Abb.11