Der Satz des Apollonius

Eine Strecke [AB] sei durch die Punkte C und D innen und außen im gleichen Verhältnis geteilt. Durch C und D verlaufe ein Kreis, dessen Mittelpunkt M zwischen C und D liegt.

Behauptung: Es gilt der Satz des Appolonius, er besagt, dass die Abstände eines Kreispunktes P von A und B sich so zueinander verhalten wie die Abstände des Punktes C von A und B.

Abb. 1

Beweis:

Abb.2

Mit einer Parallelen zur Geraden CP durch den Punkt B wird auf der Geraden AP ein Punkt E bestimmt, für den nach dem Strahlensatz gilt: . Danach wird bewiesen, dass ist.

Diese geschieht wie folgt: Die Strecke [AD] wird nach rechts um eine Strecke der Länge zu einem neuen Endpunkt F erweitert.

Behauptung: [EF] verläuft parallel zu [DP].

Begründung:

Nach dem Kehrsatz des Strahlensatzes sind unter dieser Bedingung die beiden genannten Strecken parallel.

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Der Winkel FEG rechtwinklig.

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Nach dem Thalessatz muss E demzufolge auf einem Kreis um D mit dem Radius liegen. Wenn E nicht auf dem Kreis liegen würde, dann wäre der Winkel FEG nicht rechtwinklig.

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Die Dreiecke BDG und DEG sind kongruent (SWS-Satz).

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Der Punkt G halbiert die Strecke [BE]

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Die Dreiecke BGP und GEP sind auch kongruent (SWS-Satz).

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q.e.d