12. Funktion und Umkehrfunktion

Die nachfolgende Tabelle 1 beschreibt eine Quadratfunktion f(x) = x2. Die erste Spalte enthält die Elemente der Definitionsmenge, in der zweiten Spalte sind die Elemente der Wertemenge.

Tabelle 1

x;     y

Tabelle 2

x    y

Die Tabellen 1 und 2 werden zur grafischen Darstellung untereinander in das Tabellenfenster des hier vorhandenen Grafikrechners eingetragen.

P: Darstellung durch Kreuzchen

R: rote Kreuzchen

G: grüne Kreuzchen

1 ; 1 PR

2 ;   4

3 ;   9

4 ; 16

5 ; 25

   1 ; 1 PG

   4 ; 2

  9 ; 3

16 ; 4

25 ; 5

Die Tabelle 2 unterscheidet sich von der 1. Tabelle durch die Reihenfolge der Zahlen in einer Zeile. Sie beschreibt eine Funktion y = f*(x), die als Umkehrfunktion der Quadratfunktion bezeichnet wird.

y = x²   ist die Zuordnungsvorschrift zur Tabelle 1   und y =   die zur  Tabelle 2.   y =  ist somit die Umkehrfunktion der Quadratfunktion y = x² für x ≥ 0.  In Abb. 1 sind die Funktionen nach Tabelle 1 und Tabelle 2 graphisch dargestellt.

Den Graphen einer Umkehr-funktion (hier grün) erhält man  durch   Achsenspiegelung   des zur ursprünglichen Funktion gehörenden Graphen (hier rot) an der Gerade y = x.

Darstellung mit dem hier vorhandenen Grafikrechner

Abb.1

Vertauschung von x und y in der  Zuordnungsvorschrift einer Funktion führt zur Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion.

Beispiel:

Funktion:    y = x²;  Definitionsmenge D = Menge der reellen Zahlen

Umkehrfunktion:    x = y²   →    √(x) = |y|     →      y = ± √(x) 

Es ist bekannt, dass von  einer  Funktion nur dann gesprochen werden kann, wenn y eindeutig durch x bestimmt ist.

Deshalb  kommen nur   y = + √(x)   und   y = - √(x)  als Funktionen in Frage.

y = +√(x)  ist die Umkehrfunktion von y = x²  ( x ≥ 0).

y = - √(x)  ist die Umkehrfunktion von y = x²  ( x ≤ 0).

In   Abb. 2 ist die Quadratfunktionen   y = x²    sowie  deren Umkehrfunktionen y = + √(x) (grün) und y = - √(x) (blau) graphisch dargestellt.

Abb. 2

Darstellung mit dem hier vorhandenen Grrafikrechner

Folgendes ist zu sehen:

Durch Umkehrung einer Funktion y = f(x) erhält man nur dann wieder eine Funktion, wenn y = f(x) einen streng monoton steigenden bzw. streng  monoton fallenden  Verlauf  hat,  nur dann ist sie umkehrbar.

Trifft dies nicht zu, dann hat y = f(x) zu verschiedenen x - Werten gleiche y-Werte. Nach seiner Umkehrung finden wir dann verschiedene Wertepaare (x; y), die im x-Wert  übereinstimmen.

Streng monton steigend heißt:  Einem größeren x-Wert wird immer ein größerer y-Wert zugeordnet.

Streng monoton fallend heißt: Einem größeren x-Wert wird immer ein kleinerer y - Wert zugeordnet.

Darstellung der Funktion y = √(x) durch Iteration mit dem hier vorhanden Grafikrechner