Beweis des Strahlensatzes

Da aus dem Teil I der  Teil II des Strahlensatzes folgt, können wir uns auf den Beweis des 1. Teils beschränken.

Zu 2 Kreuzungsgeraden (rot) wird noch eine weitere Kreuzungsgerade (grün) eingezeichnet, die mit den parallelen Strecken mit den Längen c und a rechte Winkel bildet, damit der Satz des Pythagoras als Beweismittel in Frage kommt. Die grüne Gerade mit ihren Abschnitten der Längen b und d teilt die parallelen Strecken in Abschnitte mit den Längen j, k und m, n.

Abb. 1

Die Begründung von „ d/b = m/j“ erscheint leicht erreichbar und sinnvoll im Sinne des geplanten Beweises. Auf der Suche nach einer Gleichung, die d, b, m und j enthält, lassen wir uns von der Frage leiten:

Was kann man mit d, b, m und j berechnen ?

a ·j /2 liefert uns den Flächeninhalt A₁ des Dreiecks mit den Seitenlängen j, b und e und das Produkt d ·m /2 den  Flächeninhalt A₂ des Dreiecks mit den Seitenlängen m, d und f .  Schließlich kann noch der Flächeninhalt A₃  des Trapezes zwischen den beiden parallelen Seiten angegeben werden.

A₃ = (d - b) · (j + m)/2

d – b: Höhe des Trapezes

(j + m)/2: Mittelwert aus den Längen der parallelen Seiten

Es gilt: A₁ + A₃  =  A₂  

↓  

 j ·b/2 +  (d - b) · (j + m)/2  =  d ·m /2  →   j ·b/2  + d ·j /2 + d ·m/2 - b· j/2 - b· m/2 =  d ·m /2

↓ 

d ·j  – b · m  =  0     →        m/j   =  d/b

Was für m/j gilt, das gilt auch für n/k : n/k   =  d/b

↓ 

(m+n)/ (j+k) = c/a = d/b

Beweis: (m+n)/ (j+k) = [(d/b) ·j + (d/b)·k] /(j+k) = d/b

Nun fehlt nur noch der Beweis: f /e = d/b = c/a .

f² / e² = (d² + m²) / (j² + b²),    

Nach d/b = m/j  (siehe oben) gilt: d² = b² · m² / j² .

↓

f² / e² = ( d² + m² )/ (j² + b²) = ( b² · m² / j² + m²) / (j² + b²) = [ ( b² · m² + m² · j²) / j²] / (b² + j²) = m² / j²

^↓

 f /e = m/j = d/b = c/a

q.e.d