Berechnung von sin(x) und cos(x) mit Hilfe von Polynomen
Es ist erkennbar, dass das Polynom zur Berechnung der Sinuswerte im Intervall [0°; 90°] geeignet ist. Mit diesen Sinuswerten können auch die Sinuswerte zu Winkeln außerhalb des genannten Intervalls bestimmt werden. Beispiele: sin(120°)= sin(60°), sin(200°) = -sin(20°)....
Abb.1
Wie in der Abb. 2 zu erkennen ist, weicht das Bogenmaß s/r=x bei sehr kleinen Winkeln nur wenig von yz/r , dem zugehörenden Sinus, ab. y = x ist demnach zur Beschreibung von y = sin(x) geeignet, wenn man den Winkel im Bogenmaß angibt und sich auf sehr kleine Winkel beschränkt (siehe Abb. 3).
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Abb. 2 |
Abb. 3 |
Können besondere Eigenschaften von y = sin(x) die Entwicklung eines noch besser passenden Polynoms ermöglichen ?
Es gilt: sin(-x) = -sin(x)
Für ein zur Beschreibung des Sinusfunktion geeignetes Polynom Ps(x) sollte deshalb gelten: Ps(-x) = -Ps(x)
Für Ps(x) kommen aus diesem Grund nur ungerade Exponenten in Frage.
Ps(x) = x + a3 · x3 + a5 · x5 + a7 · x7 ………; x steht für Winkel im Bogenmaß
Für die Kosinusfunktion gilt: cos(x) = cos(-x)
Somit kommen für das zu cos(x) passende Polynom Pc(x) aus diesem Grund nur gerade Exponenten in Frage.
Pc(x) = 1 + b2 · x2 + b4 · x4 + b6 · x6 ………; x steht für Winkel im Bogenmaß
Zur Ermittlung der Werte a3 , a5 …., b2 , b4 …. nutzen wir folgende Eigenschaften von sin(x) und cos(x):
[sin(x)]2 + [cos(x)]2 = 1, sin(2·x) = 2·sin(x)·cos(x)
Die letzte Gleichung wird später hergeleitet. Zunächst sollte man sie auf ihre Richtigkeit anhand der Graphen zu
f(x) = sin(2·x) und f(x) = 2·sin(x)·cos(x) prüfen.
↓
Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1, Ps(2·x) = 2·Ps(x) · Pc(x)
Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 + (1+2·b2) ·x2 + (2·a3 + 2·b4 + b22)·x4 …......
Nach Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 sind in dieser Summe alle Faktoren von den Potenzen x2, x4 …. gleich 0.
(1+2·b2) = 0 , (2·a3 + 2·b4 + b22) =0 …..
2·Ps(x) · Pc(x) = 2·x + [(a3 + b2)/4]·(2·x)3 + [(a5 +a3 ·b2 + b4)/16]·(2·x)5 …..... = Ps(2·x).
Nach Ps(x) = x + a3 · x3+ a5 · x5 + a7 · x7… gilt für Ps(2·x): Ps(2·x) = (2·x) + a3 · (2·x)3 + a5 ·(2·x)5 + a7 ·(2·x)7….....
↓
1+2·b2 = 0 (Faktor an x2 in der Summe Ps(x)2 + Pc(x)2) → b2 = - ½
[(a3 + b2)/4] = a3 → a3 + b2 = 4·a3 → a3 = - 1/6
2·a3 + 2·b4 + b22 = 0 → b4 = - a3 - b22/2 = 1/6 -1/8 = 1/24
(a5 +a3 ·b2 + b4)/16 = a5 → a5 =1/120
↓
sin(x) = x – (1/6)·x3 + (1/120) · x5 ….......
cos(x) = 1 - ½ · x2 + (1/24) · x4 …...........
6 = 2· 3 = 3!; 24 =1·2·3·4; 120 = 1·2·3·4·5 = 5!
Definition von n! (n Fakultät): n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5…………………. · (n-1) · n
↓
sin(x) = x – x3/ 3! + x5/5! - x7/ 7! + x9/9! - x11/11! + x13/13! – x15/ 15 !........ ( x: Winkel im Bogenmaß )
cos(x) = 1 – x2/ 2! + x4/4! – x6/ 6!…………….
Der in Abb. 4 sind die Graphen zu sin(x) und x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7! +x^9/9! - x^11/11! + x^13/13! - x^15/15! + x^17/17! - x^19/19! +x^21/21! zu sehen.
Darstellung mit dem hier vorhandenen Grafikprogramm (anklicken)
Abb.4
