Berechnung von sin(x) und cos(x) mit Hilfe von Polynomen
ist ein solches Polynom. Das rote Diagramm in der Abb.1 ist der zugehörige Graph. Das blaue Diagramm beschreibt die Sinusfunktion. Beide Diagramme wurden online mit dem Programm zur grafischen Darstellung von Funktionen erzeugt.
Es ist erkennbar, dass das Polynom zur Berechnung der Sinuswerte im Intervall [0°; 90°] geeignet ist. Mit diesen Sinuswerten können auch die Sinuswerte zu Winkeln außerhalb des genannten Intervalls bestimmt werden. Beispiele: sin(120°)= sin(60°), sin(200°) = -sin(20°)....
Das Polynom wurde in der Form (0,017471111111111)*x^1+ (-5,5555555555569E-7)*x^2+ (-9,0123456790124E-7)*x^3+ (6,1728395061743E-10)*x^4+ (8,2304526748962E-12)*x^5 in die oberste Eingabezeile des Grafikprogramms eingegeben. In die darunter liegende Zeile wurde sing(x) geschrieben. Mit dem Buchstaben g in sing wird angezeigt, dass x im Gradmaß einzusetzen ist.
Abb.1
Wie in der Abb. 2 zu erkennen ist, weicht das Bogenmaß s/r=x bei sehr kleinen Winkeln nur wenig von yz/r , dem zugehörenden Sinus, ab. y = x ist demnach zur Beschreibung von y=sin(x) geeignet, wenn man den Winkel im Bogenmaß angibt und sich auf sehr kleine Winkel beschränkt (siehe Abb. 3).
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Abb. 2 |
Abb. 3 |
Auf der Suche nach den Termen an· xn , die an x zur besseren Anpassung gehängt werden müssen, fragen wir uns, ob nicht besondere Eigenschaften von y = sin(x) als Hinweise dienen könnten.
Es gilt: sin(-x) = -sin(x)
Für ein zur Beschreibung des Sinusfunktion geeignetes Polynom Ps(x) sollte deshalb gelten: Ps(-x) = -Ps(x)
Für Ps(x) kommen aus diesem Grund nur ungerade Exponenten in Frage.
Ps(x) = x + a3 · x3 + a5 · x5 + a7 · x7 ………; x steht für Winkel im Bogenmaß
Für die Kosinusfunktion gilt: cos(x) = cos(-x)
Somit kommen für das zu cos(x) passende Polynom Pc(x) aus diesem Grund nur gerade Exponenten in Frage.
Pc(x) = 1 + b2 · x2 + b4 · x4 + b6 · x6 ………; x steht für Winkel im Bogenmaß
Zur Ermittlung der Werte a3 , a5 …., b2 , b4 …. nutzen wir folgende Eigenschaften von sin(x) und cos(x):
[sin(x)]2 + [cos(x)]2 = 1, sin(2·x) = 2·sin(x)·cos(x)
Die letzte Gleichung wird später hergeleitet. Zunächst sollte man sie auf ihre Richtigkeit anhand der Graphen zu f(x) = sin(2·x) und f(x) = 2·sin(x)·cos(x) prüfen.
↓
Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1, Ps(2·x) = 2·Ps(x) · Pc(x)
Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 + (1+2·b2) ·x2 + (2·a3 + 2·b4 + b22)·x4 …......
Nach Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 sind alle Faktoren von x2, x4 …. gleich 0.
2·Ps(x) · Pc(x) = 2·x + [(a3 + b2)/4]·(2·x)3 + [(a5 +a3 ·b2 + b4)/16]·(2·x)5 …..... = Ps(2·x)
Nach Ps(x) = x + a3 · x3+ a5 · x5 + a7 · x7… gilt für Ps(2·x):
Ps(2·x) = (2·x) + a3 · (2·x)3 + a5 ·(2·x)5 ….....
↓
1+2·b2 = 0 (Faktor an x2 in der Summe Ps(x)2 + Pc(x)2) → b2 = - ½
[(a3 + b2)/4] = a3 → a3 + b2 = 4·a3 → a3 = - 1/6
2·a3 + 2·b4 + b22 = 0 → b4 = - a3 - b22/2 = 1/6 -1/8 = 1/24
(a5 +a3 ·b2 + b4)/16 = a5 → a5 =1/120
↓
sin(x) = x – (1/6)·x3 + (1/120) · x5 ….......
cos(x) = 1 - ½ · x2 + (1/24) · x4 …...........
6 = 2· 3 = 3!; 24 =1·2·3·4; 120 = 1·2·3·4·5 = 5!
Definition von n! (n Fakultät): n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5…………………. · (n-1) · n
↓
sin(x) = x – x3/ 3! + x5/5! - x7/ 7! + x9/9! - x11/11! + x13/13! – x15/ 15 !........ ( x: Winkel im Bogenmaß )
cos(x) = 1 – x2/ 2! + x4/4! – x6/ 6!…………….
Der in Abb. 4 sind die Graphen zu sin(x) und x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7! +x^9/9! - x^11/11! + x^13/13! - x^15/15! + x^17/17! - x^19/19! +x^21/21! zu sehen.
Beide Funktionen können zur grafischen Darstellung mit (kopieren/einfügen) in das genannte Grafikprogramm übertragen werden.
Abb.4
