Bestimmung von (a0 + a1· x + a2 · x2 + a3· x3 ……………+ an-1 · x n-1 + an · xn ) : (x-x0) nach dem Horner-Schema
Als man noch nicht über elektronische Rechenhilfen verfügte, war zu schnellen Berechnung eines Polynoms P(x) die folgende Umformung angebracht:
P(x) = a0 + a1· x + a2 · x2 + a3· x3 + a4 · x4
P(x) = {[(a4 · x+ a3) · x + a2 ] · x + a1 } · x + a0
Zur Ermittlung seines Wertes für ein gegebenes x wird zunächst a4 · x+ a3 = A3 , dann A3 · x + a2 = A2 , dann A2 · x + a1 = A1 und schließlich A1 · x + a0 = A0 berechnet. A0 ist das Ergebnis.
Dieses Berechnungsverfahren kann schematisiert werden.
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a4 |
a3 |
a2 |
a1 |
a0 |
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+a4 · x |
+A3 · x |
+ A2 · x |
+A1· x |
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a4 |
A3 |
A2 |
A1 |
A0 |
Wenn x eine Nullstelle x0 ist, dann sind a4, A3, A2 und A1 die Faktoren ( Koeffizienten) von P(x) / (x-x0 ).
P(x) / (x-x0 ) = a4 · x3 + A3 · x2 + A2 · x + A1 ; A0 = 0
Beispiele:
1. Beispiel:
P(x) = x3 - 2·x2 - x + 2; x0 = 1
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1 |
-2 |
-1 |
2 |
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+1 |
+ (-1) |
+ (-2) |
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1 |
-1 |
-2 |
0 |
P(x) / (x – 1) = x2 – 1 · x – 2
2. Beispiel:
P(x) = x4 – 1 = x4 + 0· x3 + 0 · x2 + 0 · x – 1; x0 = 1
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1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
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1 |
1 |
1 |
+1 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
P(x) / (x-1) = x3 + x2 + x + 1
Beweis zur Behauptung: P(x) / (x-1) = an· xn-1 + An-1 · xn-2 + .......+ A1
an · xn + an-1· xn-1 + an-2 · xn-2 +.....+ a1 · x + a0 = P(x); x0 sei eine Nullstelle
P(x) = an · (xn – x0n) + an-1· (xn-1 – x0n-1)+……. + a2 · (x2 - x02) + a1 · (x – x0)
Beachte :
(xn – x0n) = (x – x0 ) · (xn-1 + xn-2 · x0 + xn-3 · x02 .................+ x0n-1)
(xn-1 – x0n-1) = (x – x0 ) · (xn-2 + xn-3 · x0 + xn-4 · x02 .................+ x0n-2)
↓
an·(xn – x0n) : (x – x0 ) = an·xn-1 + an·xn-2 · x0 + an·xn-3 · x02 .................+ an·x0n-1
|
Wenn x0 ist eine Nullstelle ist, dann gilt: P(x) = an·(xn –x0n)+ an-1·(xn-1– x0n-1)+an-2·(xn-2–x0n-2).…. + a2·(x2-x02) + a1·(x–x0) P(x) / (x-x0) = |
|||||
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an·(xn –x0n)+ |
an-1·(xn-1– x0n-1)+ |
an-2·(xn-2–x0n-2)+ |
.…. + a2·(x2-x02) + |
a1·(x–x0) |
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: (x-x0) || |
: (x-x0) || |
: (x-x0) || |
: (x-x0) || |
: (x-x0) || |
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an · xn-1 |
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= an · xn-1 |
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+ an · xn-2 ·x0 |
+ an-1· xn-2 |
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= An-1 · xn-2 |
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+ an · xn-3 · x02 |
+ an-1· xn-3 · x0 |
+ an-2· xn-3 |
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= An-2 · xn-3 |
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+ an · xn-4 · x03 |
+ an-1· xn-4 · x02 |
+ an-2· xn-4 · x0 + ...... |
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= An-3 · xn-4 |
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+ .......... |
+ .......... |
+ .......... |
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............ |
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+ an ·x ·x0n-2 |
+ an-1 ·x ·x0n-3 |
+ an-2 ·x ·x0n-4. |
…... + a2 · x |
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=A2 |
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+ an · x0n-1 |
+ an-1 · x0n-2 |
+ an-2 · x0n-3 |
…..+ a2 · x0 |
+ a1 |
= A1 |
Mit dem hier verfügbaren Online-Rechenprogramm kann P(x) : (x – x0) leicht nach dem Horner-Schema bestimmt werden.
Geg.: P(x) = 2 · x3 - 8 · x2 + 2 · x + 12 · x0 ; Nullstelle x0 = -1
Für a, b, c, d und x werden 2, -8, 2, 12 , -1 und in das Rechenfenster a=a; b=b+a*x; c=c+b*x; d=d+c*x eingetragen.
Nach Anklicken der Gleichheitstaste erscheinen bei a, b und c die Koeffizienten von P(x)/(x+1) = 2·x2 -10·x +12.
Wird das Gleichheitszeichen nochmal mit x= 2 angeklickt, dann sind die Koeffizienten zu P(x)/((x+1)· (x-2)) zu sehen.