y = x2 trägt den Namen Quadratfunktion. Es handelt sich dabei um eine spezielle Form der quadratischen Funktionen y = a·x2 + b·x + c. Die Graphen zu quadratischen Funktionen nennen wir Parabeln. Die Parabel zu y = x2 heißt Normalparabel. In Abb. 1 sind die Graphen zu verschiedenen quadratischen Funktionen dargestellt.
Abb. 1
Mit einem hier verfügbaren Onlineprogramm können diese Graphen entwickelt werden.
Anmerkung zur Abb. 1:
1.) Neben der Normalparabel (rot) durch den Nullpunkt des Koordinatensystems sind zwei weitere Parabeln zu y = (x-3)2 (blau) und y = (x-3)2 + 4 (violett) abgebildet. Dass es sich bei der Parabel zu y = (x-3)2 um eine nach rechts um 3 verschobene Normalparabel handelt, ist leicht einzusehen. y = (x - 3)2 nimmt für z.B. x = 3 +0,1, x = 3+ 0,2 , x = 3+ 0,3 die gleichen Werte an wie y = x2 für x = 0,1, x = 0,2, x = 0,3. Der Graph zu y = (x-3)2 entwickelt sich demnach um x = 3 genauso wie der Graph von y = x2 um x = 0. Wird zu y = (x-3)2 die Zahl 4 addiert, dann werden die Punkte von y = (x-3)2 um 4 angehoben. y = (x-3)2+4 beschreibt demnach eine um 3 nach rechts und um 4 nach oben verschobene Normalparabel.
Schlussfolgerung: Ein Graph zu f(x) = (x-d)2 + e ist eine verschobene Normalparabel.
d: Verschiebung in Richtung der x-Achse.
e: Verschiebung in Richtung der y-Achse.
Ist d bzw. e positiv, dann hat man eine Verschiebung in Achsenrichtung, andernfalls eine Verschiebung gegen die Achsenrichtung. P = P(e; d) ist der Scheitelpunkt der Parabel (der tiefste oder höchste Punkt).
Aufgabe:
Es soll der Scheitelpunkt zu einer Parabel mit der Zuordnungsvorschrift y = x2 + b·x + c bestimmt werden. y = x 2 + b·x + c muss zu diesem Zweck in die Form y = (x - d)2 + e gebracht werden. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (b/2)2 .
y = x2 + b·x +(b/2) 2 + c - (b/2) 2
y = (x + b/2) 2 + c – b2/4 → d = - b/2 ; e = c – b2/4
Es ist zu sehen, dass jede quadratische Funktion der Form y = x2 + b·x + c durch eine Normalparabel oder verschobene Normalparabel darstellbar ist..
Über die Bedeutung von a in y = a·x2 + b·x + c
Es soll nun noch untersucht werden, wie sich der Faktor a vor x 2 auf den Graphen auswirkt. In Abb. 2 sind Graphen zu den Funktionen y = x2, y = 2·x2 und y = 0,5· x2 zu sehen.
Darstellung mit dem hier vorhandenen Grafikrechner
Abb. 2
Wir erkennen anhand der Abb. 2:
1.) Der Graph zu y = 2·x2 ist das Bild der Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m=½.
2.) Der Graph zu y = 0,5·x2 ist da Bild einer Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m=2.
Der Graph zu y = a·x2 ist demnach das Bild einer Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = 1/a.
Beweis:
Es sei die Normalparabel mit y' = x'2 gegeben. Die Streckung S=(Z(0|0), m) eines Punkte x',y` liefert den Punkt mit den Koordinaten x = m·x' und y = m·y'.
x' = x/m, y' = y/m , y' = x'2 → (y/m) = (x/m)2 → y = (1/m) ·x2
Die Bildpunkte bezüglich der Zentrischen Streckung liegen demnach auf einem Graphen zur Funktion y = (1/m) ·x2 (1/m = a).
Eine zentrische Streckung mit negativem m ( a < 0) führt zu einer Umkehrung der Parabel (siehe Abb. 3).
Abb. 3
Jede Funktion der Art y = a·x2 + b·x + c kann, wie im Folgenden bewiesen wird, mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung umgeformt werden in y = a·(x-d)2 + e. Die Entstehung des Graphen zu y = a·(x-d)2 + e kann man sich wie folgt vorstellen: Eine Normalparabel wird zunächst mit m= 1/a zentrisch gestreckt. Daraufhin wird diese gestreckte Parabel um d entlang der x-Achse und dann um e parallel zu y-Achse verschoben. Der Graph zu jeder quadratischen Funktion kann als zentrisch gestreckte und verschobene Normalparabel aufgefasst werden.
Beweis der Behauptung „a ·x2 + b·x + c = a·(x-d)2 + e“ :
y = a · x2 + b· x + c ↔ y = a · [ x2 + (b/a) · x + c/a ] ↔ y = a · [ x2 + (b/a) · x + (½ · b/a)2 + c/a - (½ · b/a)2 ]
(½ · b/a)2: Quadratische Ergänzung
↓
y = a · [ (x + ½ · b/a)2 + c/a – b2/ (4· a2)] ↔ y = a ·(x + ½ · b/a)2 + ( c – b2/ (4· a))
↓
m = 1/a; d = - ½ · b/a; e = c – b2/ (4· a)
Abb. 4 : Menneken Pis, eine bekannte Brunnenfigur in Brüssel
Aufgaben zum Kapitel „Quadratische Funktionen“ (anklicken !)