Berechnung von sin(x) und cos(x) mit Hilfe von Polynomen

In der Abb. 1 sind Punkte P[x;sin(x)] und P[x; cos(x)] mit bekannten Koordinaten zu sehen. Durch die mit Kreuzen markierten Punkte P[x;sin(x)] und P[x; cos(x)] wurden Polynomgraphen mit „Mathe.- Polynome“ im Programm „Mathe-Physik“  gelegt.

Abb. 1

Da die Polynomgraphen im Intervall [0; 180°]  auch durch die nicht  mit Kreuzen markierten, Punkte P[x;sin(x)] und P[x; cos(x)] hindurchgehen, sieht es so aus, als ob die  zugehörenden Polynomfunktionen in diesem Intervall  gut zur Beschreibung von y=sin(x)  und y=cos(x) geeignet sind. Die Funktionsterme zu den Polynomgraphen können in „Mathe-Physik“ mit  „Mathe._Funktionsterm_Term zum Polynom“ aufgerufen werden.

Wie in der Abb. 2  zu erkennen ist, weicht das Bogenmaß s/r bei sehr kleinen Winkeln nur wenig von yz/r , dem zugehörenden Sinus,  ab. y = x ist demnach zur Beschreibung von y=sin(x) geeignet, wenn man den Winkel im Bogenmaß angibt und sich auf sehr kleine Winkel beschränkt (siehe Abb. 3).

Abb. 2

Abb. 3

 

Die in der Abb. 3 mit 1 gekennzeichnete Kurve beschreibt y = x.

Auf der Suche nach den Termen an· xn , die in y = x zur besseren Anpassung an x angehängt werden müssen, fragen wir uns, ob nicht besondere Eigenschaften von y = sin(x) als Hinweise dienen können.

 Es gilt: sin(-x) = -sin(x)

Für ein zur Beschreibung des Sinusfunktion geeignetes Polynom Ps(x) sollte deshalb gelten: Ps(-x) = -Ps(x)

Für Ps(x) kommen aus diesem Grund nur ungerade Exponenten in Frage.

Ps(x) = x + a3 · x3 + a5 · x5 + a7 · x7 ………;     x steht für Winkel im Bogenmaß

 

Für die Kosinusfunktion gilt: cos(x) = cos(-x)

Somit kommen für das zu cos(x) passende Polynom Pc(x) aus diesem Grund nur gerade Exponenten in Frage.

Pc(x) = 1 + b2 · x2 + b4 · x4 + b6 · x6 ………;     x steht für Winkel im Bogenmaß



Zur Ermittlung der Werte a3 , a5 …., b2 , b4 …. nutzen wir folgende Eigenschaften von sin(x) und cos(x):

[sin(x)]2 + [cos(x)]2 = 1,      sin(2·x) = 2·sin(x)·cos(x)

Die letzte Gleichung wird später hergeleitet. Zunächst sollte man sie auf ihre Richtigkeit anhand der Graphen zu f(x) = sin(2·x) und f(x) = 2·sin(x)·cos(x) prüfen.

Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1,     Ps(2·x) = 2·Ps(x) · Pc(x)

Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 + (1+2·b2) ·x2 + (2·a3 + 2·b4 + b22)·x4 …......

Nach Ps(x)2 + Pc(x)2 = 1 sind alle Faktoren bei x2, x4 …. gleich 0.

2·Ps(x) · Pc(x) = 2·x + [(a3 + b2)/4]·(2·x)3 + [(a5 +a3 ·b2 + b4)/16]·(2·x)5 …..... = Ps(2·x)

Nun gilt nach Ps(x) = x + a3 · x3 + a5 · x5 + a7 · x7 … für Ps(2·x):

Ps(2·x) = (2·x) + a3 · (2·x)3 + a5 ·(2·x)5 ….....

1+2·b2 = 0 (Faktor an  x2 in der Summe Ps(x)2 + Pc(x)2) →  b2 = - ½

[(a3 + b2)/4] = a3   →   a3 + b2 = 4·a3   →    a3 = - 1/6

2·a3 + 2·b4 + b22 = 0  →   b4 = - a3 - b22/2 = 1/6 -1/8 = 1/24

(a5 +a3 ·b2 + b4)/16 = a5   → a5 =1/120 

sin(x) = x – (1/6)·x3 + (1/120) · x5 ….......

cos(x) = 1 - ½ · x2 + (1/24) · x4 …...........

 

   6 = 2· 3 = 3!;   24 =1·2·3·4;    120 = 1·2·3·4·5 = 5!

Definition von n! (n Fakultät):       n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5…………………. · (n-1) · n

sin(x) = x – x3/ 3! + x5/5! -  x7/ 7! + x9/9! - x11/11! + x13/13! – x15/ 15 !........ ( x: Winkel im Bogenmaß )

cos(x) = 1 – x2/ 2! + x4/4! – x6/ 6!…………….



Der in Abb. 3 mit den Nummern 2 und 3 gekennzeichneten Graphen gehören zu PS(x)=x – x3/ 3! und PS(x)=x – x3/ 3! + x5/5! -  x7/ 7! + x9/9! - x11/11! + x13/13! – x15/ 15! . Das letzte Polynom ist sehr gut zur Beschreibung von y=sin(x) im Intervall [0; π] geeignet. In Abb. 4 sehen wir den Graphen von Pc(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! – x10/10! + x12/12! – x14/14! mit Punkten P[x; cos(x)].

Abb.4 

Mit „50 und Start“ kann dies überprüft werden.

Im Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ erscheinen neben der im letzten Kapitel vorgestellten Tabelle mit Werten zu den Winkelfunktionen die oben angegebenen Polynomfunktionen.

Zur Darstellung der hier sichtbaren Graphen mit „Mathe-Physik“ ist folgendes zu beachten:

sin(x):    Sinuswert zum Winkel x im Bogenmaß

cos(x):   Kosinuswert zum Winkel x im Bogenmaß

tan(x):   Tangenswert zum Winkel x im Bogenmaß

sing(x):  Sinuswert zum Winkel x im Gradmaß (Altgrad)

cosg(x): Kosinuswert zum Winkel x im Gradmaß (Altgrad)

tang(x): Tangenswert zum Winkel x im Gradmaß (Altgrad)