Bestimmung von (a0 + a1· x + a2 · x2 + a3· x3 ……………+ an-1 · x n-1 + an · xn ) : (x-x0)  nach dem Horner-Schema

Als man noch nicht über elektronische Rechenhilfen verfügte, war zu schnellen Berechnung eines Polynoms P(x) die folgende Umformung angebracht:

P(x)  =  a0 + a1· x + a2 · x2 + a3· x3  + a4 · x4  

P(x) = {[(a4 · x+ a3) · x + a2 ] · x + a1 } · x + a0

Zur Ermittlung seines Wertes für ein gegebenes x wird zunächst a4 · x+ a3  = A3 , dann A3 · x + a2 = A2 , dann A2 · x + a1  = A1 und schließlich  A1 · x + a0 = A0  berechnet. A0 ist das Ergebnis.

Dieses Berechnungsverfahren kann schematisiert werden.

a4

a3

a2

a1

a0

 

+a4 · x

+A3 · x

+ A2 · x

+A1· x

a4

A3

A2

A1

A0

 

Wenn x eine Nullstelle x0 ist, dann sind a4, A3, A2 und  A1 die Faktoren ( Koeffizienten) von P(x) / (x-x0 ).

P(x) / (x-x0 ) = a4 · x3 + A3 · x2 + A2 · x + A1 ;     A0  = 0

Beispiele:

1. Beispiel:

P(x) = x3 - 2·x2 - x  + 2;     x0 = 1

1

-2

-1

2

 

+1

+ (-1)

+ (-2)

1

-1

-2

0

P(x) / (x – 1) = x21 · x – 2

2. Beispiel:

P(x) = x4 – 1 = x4 + 0· x3 + 0 · x2 + 0 · x – 1;     x0 = 1

1

0

0

0

-1

 

1

1

1

+1

1

1

1

1

0

P(x) / (x-1) = x3 + x2 + x + 1

Beweis zur Behauptung: P(x) / (x-1) = an· xn-1 + An-1 · xn-2 +  .......+ A1

an · xn + an-1· xn-1 + an-2 · xn-2 +.....+ a1 · x + a0 = P(x);    x0 sei eine Nullstelle

P(x) = an · (xn – x0n)  + an-1· (xn-1 – x0n-1)+…….   + a2 · (x2  - x02)  + a1 · (x – x0)

  

Beachte :

(xn – x0n)  =  (x – x0 ) · (xn-1 + xn-2 · x0 + xn-3 · x02 .................+ x0n-1)

(xn-1 – x0n-1)  =  (x – x0 ) · (xn-2 + xn-3 · x0 + xn-4 · x02 .................+ x0n-2)

an·(xn – x0n)  : (x – x0 ) = an·xn-1 + an·xn-2 · x0 + an·xn-3 · x02 .................+ an·x0n-1


Wenn x0 ist eine Nullstelle ist, dann gilt:

P(x)  = an·(xn –x0n)+ an-1·(xn-1– x0n-1)+an-2·(xn-2–x0n-2).…. + a2·(x2-x02) + a1·(x–x0)

P(x)   / (x-x0) =

an·(xn –x0n)+

an-1·(xn-1– x0n-1)+

an-2·(xn-2–x0n-2)+

.…. + a2·(x2-x02) +

a1·(x–x0)


: (x-x0)

||

: (x-x0)

||

: (x-x0)

||

: (x-x0)

||

: (x-x0)

||


an · xn-1





= an · xn-1

+ an · xn-2 ·x0

+ an-1· xn-2




= An-1 · xn-2

+ an · xn-3 · x02

+ an-1· xn-3 · x0

+ an-2· xn-3



= An-2 · xn-3

+ an · xn-4 · x03

+ an-1· xn-4 · x02 

+ an-2· xn-4 · x0 + ......



= An-3 · xn-4

+  ..........

+  ..........

+  ..........

 


............

an  ·x ·x0n-2

an-1  ·x ·x0n-3

an-2  ·x ·x0n-4.

...  + a2 · x


=A2

+ an  · x0n-1

+ an-1  · x0n-2

+ an-2  · x0n-3

..+ a2  · x0

+ a1

= A1

 

Im Tabellenfenster von „Mathe-Physik“  kann P(x) : (x – x0) leicht nach dem Horner-Schema bestimmt werden.

Geg.: P(x)  = 2 · x3 - 8 · x2 + 2 · x  + 12 · x0 ;   Nullstelle x0 = -1

Die Koeffizienten 2, - 8, 2, und 12  werden in der ersten Spalte angeordnet. Anschließend wird die Tabelle nach Festlegung der Anfangsbedingungen mit a+S*x ausgewertet  ( x = x0).  S mit dem Anfangswert 0 ist jeweils das Ergebnis der letzten Rechnung ! Es entsteht eine zweite Spalte mit den Koeffizienten des Polynoms P(x) / ( x- x0) = 2·x2 -10·x +12.

a+S*x

|   2 |      2 |

|  -8 |  -10 |

|   2 |    12 |

| 12 |      0 |

 

Nach der Eingabe von „40“ und „START“ kann die Rechnung ausgeführt werden