Bestimmung eines Polynoms n. Grades zu n+1 willkürlich gewählten Wertepaaren.

Mit dem On-Line-Programm „Polynome“ kann ein Polynom errechnet werden, dessen Graph durch n willkürlich gewählte Punkte läuft.

In der folgenden Abbildung, ist der Graph der Sinusfunktion zusammen mit dem Graphen eines Polynoms zu sehen, welches anhand der Sinuswerte zu den Winkeln 0, +/- π/2, +/- π/6, +/- π/4 und +/- π/3 ermittelt wurde.

2. Anwendungsbeispiel:

Gesucht werde eine Summenformel für S = 1·2+2·3+3·4+4·5...+ n·(n+1).

Es wird davon ausgegangen, dass S durch ein Polynom 3.Grades dargestellt wird. Im Eingabefenster für ein Polynom 3.Grades werden folgende Zahlenpaare eingegeben: (1;2), (2;8),(3;20),(4;40).

Ergebnis: (0)+ (0,66666666666667)*x^1+ (1)*x^2+ (0,33333333333333)*x^3 = y

↓

S(n) = 2/3 ·n + n² + 1/3·n³ = 1/3 ·n · (2 + 3·n + n² )

Diese Gleichung kann durch Schluss von n auf n+1 bewiesen werden !

Wenn S(n) richtig ist, dann gilt für : S(n+1) = 1/3 ·n · (2 + 3·n + n² ) + (n+1)·(n+2)

Behauptung: S(n+1) = 1/3 ·(n +1)· (2 + 3·(n+1) + (n+1)² )

↓

1/3 ·(n +1)· (2 + 3·(n+1) + (n+1)² ) = 1/3 ·n · (2 + 3·n + n² ) + (n+1)·(n+2)

1/3 ·(n³ +6·n² + 11·n +6) = 1/3 ·(n³ +6·n² + 11·n +6) q.e.d.