Bewegung unter Zwangskräften

Wir betrachten eine Bewegung eines auf einer schiefen Ebene herabrutschenden Teilchens. Eine von dieser Ebene ausgehende, rechtwinklig zu ihr stehende Kraft hindert das Teilchen an einem Fall. Eine derartige Kraft, welche dafür sorgt, dass bestimmte die Bewegung einschränkende Bedingungen eingehalten werden, heißt Zwangskraft. Von Zwangskräften wird nicht nur dann gesprochen, wenn eine Bewegung auf bestimmte Bahnen eingeschränkt wird, sondern auch dann, wenn durch feste Verbindungen Abstände zwischen bewegten Teilchen eingehalten werden. So sorgt ein Stäbchen, welches zwei Kugeln miteinander verbindet, für Zwangskräfte auf diese Kugeln.

Anhand der folgenden Aufgabenstellung werden Methoden zur Berechnungen von Bewegungen unter Berücksichtigung von Zwangskräften behandelt.


Aufgabe: Wie bewegt sich ein Teichen, welches auf der Innenwand eines auf der Spitze stehenden Hohlkegels angestoßen wird (siehe Abb. 1) ?


1. Herleitung mit Zwangskräften

Wir haben die 3 zeitabhängigen Größen x, y und φ. Mit x = r · cos(φ) und y = r · sin(φ) kann die Zahl der Koordinaten um 1 vermindert werden.

r2· d φ/dt ist die doppelte Flächengeschwindigkeit von r.

Beweis:

Der Flächeninhalt ΔA der von r während einer Drehung um Δ φ überstrichen wird, verhält sich zur Drehung Δ φ so wie der Vollwinkel 2·π zum Kreisflächeninhalt π·r2 ΔA/ Δ φ = π·r2/( 2·π) → ΔA = r2/2 · Δ φ

ΔA/ Δt = r2/2 · (Δ φ / Δt)

Diese Gleichung ist fehlerhaft, wenn sich r während der Drehung ändert.

Dieser Fehler strebt allerdings mit Δt 0 auch gegen den Wert 0.

Somit kann geschrieben werden: dA/ dt = r2/2 · (d φ / dt)

    Die letzte Gleichung hätte man auch mit Hilfe der Energieerhaltungssatzes aufstellen können.


Mit dem nachfolgenden Programm, ausführbar im Tabellenfenster von Mathe.-Physik“ , kann die Bewegung mit den für dr/dt und dφ/dt hergeleiteten Gleichungen in einem Trichter mit α =45° simuliert werden ( tan(45°) = cot(45°) =1 !). Zunächst werden dem Rechner mit einem Doppelklick auf die 1.Zeile die Anfangswerte mitgeteilt. C und K wurden mit den Anfangswerten r = 0,2 m, |dr/dt| = 0,5 m/s und dφ/dt =5,07 s-1 berechnet. Die Änderungen von r und φ werden schrittweise in kleinen Zeitintervallen h= 0,0001s berechnet. Rechts stehen die Werte vor h und, links die neuen Werte nach h. Im Programm steht v für |dr/dt|, f für φ und wrz für „Wurzel aus“. _x; y bewirkt, dass ein Punkt P(x | y) gesetzt und mit seinem Vorgänger verbunden wird. Die mit dem Programm erzeugte Abbildung zeigt die Projektion der Teilchenbahn auf die x-y-Ebene.


|C|K|r|f|h|=|2,73|0,2028|0,2|0|0,0001|

wiederhole bis n=1

v=wrz(C-0.5*(K/r)^2-2)

r = r-v*h

f=f +(K/r^2)*h

x=r*cos(f)

y=r*sin(f)

_x;y;;10

zurück


Im reibungsfreien Fall bleibt das Teilchen in einer bestimmten Höhe auf einer Kreisbahn. Wenn es auf einer Spiralbahn abwärts kreisen soll, dann muss das Gefäß so gestaltet werden, dass dr/dt konstant bleibt. Dies ist dann der Fall, wenn die Zunahme der auf die Rotation entfallenden kinetischen Energie  m · (r · (dφ/dt))2/2 = 0,5·m· (K/r)2 gleich der Abnahme an der potenziellen Energie m· g· z ist, dass heißt:

0,5·m· (K/r)2 + m· g· z = Konstante C = 0,5·m· (K/r0)2 + m· g· h.

ro = 0,4 m ist der zum Startpunkt gehörende Radius, h = 0,4 m die Höhe des Gefäßes und dφ/dt =1,27 s-1 ist die anfängliche Winkelgeschwindigkeit .

z = 0,5·K2· (1/r02 - 1/r2 )/ g + h

In der folgenden Abbildung ist der Querschnitt des Gefäßes zu sehen.  



Spendentrichter (Citygalerie Aschaffenburg)



Soll statt der Bewegung eines reibungsfrei gleitenden Teilchens die einer rollenden Kugel untersucht werden, dann muss berücksichtigt werden, dass die kinetische Energie infolge der Kugelrotation um 0,4· m·v2/2 größer ist und somit den Wert 1,4·m·v2/2 hat.


2. Herleitung nach dem Prinzip von d' Alembert

Der französische Mathematiker d'Alembert (1717-1783) hat zur Behandlung von Bewegungen unter dem Einfluss von Zwangskräften ein Verfahren entwickelt, bei dem Zwangskräfte nicht in die Rechnung eingehen. Es fußt auf dem nach ihm benannten d' Alembertschen Prinzip.

Es besagt: Bei einer virtuellen Verrückung im Rahmen der Zwangsbedingungen verrichten die an den Massepunkten Pi angreifenden Zwangskräfte Zi insgesamt keine Arbeit (virtuelle Arbeit).

Was ist unter einer virtuelle Verrückung und einer ihr entsprechenden virtuelle Arbeit zu verstehen?

D' Alembert verglich die augenblickliche Lage eines Systems mit einer geringfügig davon abweichenden Lage, die mit den Zwangsbedingungen verträglich ist und stellte dabei fest, dass die Zwangskräfte Zi bei einer Verschiebung des Systems in die vorgestellte abweichende Lage unter den augenblicklichen Bedingungen insgesamt keine Arbeit verrichten würden. Die gedachten Verschiebungen δri der Massepunkte i, die bei geringen Abweichungen immer als geradlinig angesehen werden dürfen, heißen virtuelle Verrückungen und die zugehörenden Produkte Zi· δri virtuelle Arbeiten der Zwangskräfte.



D'Alembert (1717-1783)



Wenn vom d' Alembertschen Prinzip die Rede ist, dann darf nicht unerwähnt bleiben, dass sich dieses Prinzip auch zur Behandlung von Gleichgewichtszuständen eignet.

Diese Lösung der Aufgabe erscheint sehr umständlich, wenn man bedenkt, wie schnell diese Aufgabe mit Hilfe des Hebelgesetzes - dies kann auch mit dem d' Alembertschen Prinzip hergeleitet werden - bewältigt werden kann. Die Leiter kann als Hebel aufgefasst werden, deren Drehpunkt an ihrem unteren Ende liegt. Auf das obere Ende der Leiter wirkt die Wand in horizontaler Richtung mit einer Kraft F, welche die Reibungskraft FR ausgleicht (|F| = |FR| ). F bewirkt das nach rechts drehende Moment mit dem Betrag |FR| · y. Die Person bewirkt mit ihrer Gewichtskraft m·g ein nach links drehendes Moment mit dem Betrag m·g ·xP .

Da der Hebel ruht gilt: |FR| · y = m·g ·xP  →   |FR|= m·g ·xP /y .

Soll die Masse mL der Leiter mitberücksichtigt werden, dann muss zum Drehmoment der Person noch das nach links drehende Moment ML der Leiter mit dem Betrag mL · g· x/2 addiert werden. Die Leiter verhält sich in Bezug auf ihr Drehmoment so, als ob ihre gesamte Masse in ihrem Schwerpunkt – er liegt in ihrer Mitte - vereinigt sei.

|FR| · y = m·g ·xP + mL · g· x/2  →  |FR| = (m·g ·xP + mL · g· x/2 )/y


3. Herleitung nach der Multiplikatormethode von Langrange


Joseph-Louis Langrange (1736-1813)





4. Herleitung mit der Langrangegleichung

Die Arbeit an der anfangs gestellten Aufgabe begann bisher immer mit F = m·d2r/dt2 . Anschließend wurden die Kartesische Koordinaten x, y durch r und φ ausgedrückt. Es stellt sich die Frage, ob man nicht von Anfang an mit r und φ arbeiten kann. Es müsste eine der Gleichung F = m·d2r/dt2 ähnliche Gleichung für r und φ geben. Mit dem Begriff „Kartesische Koordinaten“ wird schon darauf hingewiesen, dass es auch noch andere Koordinaten gibt. Wenn ein Satz voneinander unabhängiger Variablen zur eindeutigen Lagebeschreibung eines Systems vorliegt, dann spricht man von „Generalisierten Koordinaten“. Danach bilden nicht nur x, y und z sondern auch r, φ und z ein Koordinatensystem.



Beweis:




    5. Die Hamiltonschen Gleichungen


Wolliam Rowan Hamilton (1805-1865)


Neben F = m·d2r/dt2 gibt es noch andere für Kartesische Koordinaten geltende Gleichungen, die für Generalisierte Koordinaten erweitert werden können.



6. Das Hamiltonsche Prinzip