Entdeckungen infolge gedanklicher Variation gegebener Verhältnisse

Es gibt physikalische Gesetze, die ihre Entdeckung einem Vergleich realer Gegebenheiten mit davon leicht abweichenden erdachten Verhältnissen verdanken.

Als Beispiel ist das Fermatsche Prinzip zu nennen. Es besagt:

Das Licht nimmt von einem Punkt P1 zu einem anderen Punkt P2 immer den Weg, der im Vergleich zu einem davon abweichenden Weg am schnellsten zum Ziel führt.

Mit diesem Prinzip kann sowohl das Reflexionsgesetz wie das Brechungsgesetz der Optik hergeleitet werden.

Pierre de Fermat (1607-1665)



    1. Anwendungsbeispiel: Herleitung des Reflexionsgesetzes

1. Anwendungsbeispiel: Herleitung des Brechungsgesetzes





Sehr wahrscheinlich durch das Fermatsche Prinzip angeregt hat Johann Bernoulli 1696 folgende Aufgabe gestellt:

Eine Kugel werde an einem Punkt P1(0; 0) auf eine Bahn gesetzt, damit sie zu einem seitlich darunter liegenden Punkt P2 – beispielsweise P2(12m; 5m) - hinabrollt. Wie muss die Bahn beschaffen sein, auf der sie im Vergleich mit anderen Bahnen am schnellsten zum Ziel kommt ?

Erst Leonhard Euler gelang es, diese Aufgabe zu lösen.


Johann Bernoulli (1667-1748)         Leonhard Euler (1707-1783)

Der hier beschriebene Kurvenverlauf hat einiges mit der als Zykloide bekannten Kurve gemeinsam. Nach Anklicken von Zykloide wird die Entstehung einer solchen Kurve vorgeführt. Die nachfolgenden Ausführungen machen deutlich, dass es sich bei der Rollbahn mit der kürzesten Laufzeit um eine Zykloide handelt. Die Konstante a erweist sich als doppelter Radius.


x = 12
y = 5
φ = f = 3

f = 0.5*(f+(1-cos(f))*x/y+sin(f))

f = 3.76410252738738
f = 3.76626492025211
f = 3.76269754639283
f = 3.76857513335019
f = 3.76857513335019
f = 3.75887031721571
f = 3.77483836854447
f = 3.74840865624244
f = 3.79174486185709
f = 3.71949678329388
f = 3.83700831390478
f = 3.63607214337306
f = 3.95855099995048


r = y/(1-cos(f)) = 2.75874615397509

Der zu x = 12m und y = 5m gehörende Winkel φ kann nicht direkt, sondern nur durch schrittweise Annäherung (Iteration) ermittelt werden.

Aus x = r · ( φ - sin φ ) und y = r · ( 1 - cos φ ) folgt:

x/y = ( φ - sin φ ) / ( 1 - cos φ )     →     ( 1 - cos φ ) · x/y = ( φ - sin φ )
    →     φ = ( 1 - cos φ ) · x/y + sin φ

Zunächst erscheint folgende Vorgehensweise angebracht. Auf der rechten Seite der letzten Gleichung wird ein Schätzwert für φ im Bogenmaß z.B. φ = 3 eingetragen.

Sollte dann mit ( 1 - cos φ ) · x/y + sin φ ein besserer Wert für φ erhalten werden, könnte durch Einsetzten des neuen Wertes in ( 1 - cos φ ) · x/y + sin φ ein noch genauerer Wert gefunden werden usw..

Leider bringt dieses Verfahren nicht den gewünschten Erfolg.

Zur Iteration ist 0,5·(φ+(1-cos(φ))·x/y+sin(φ)), der Mittelwert des letzten und vorletzten φ, besser geeignet.

Die Tabelle in der linken Spalte enthält die dabei gewonnenen Werte. Die Iteration wurde mit φ = f = 3 begonnen und wurde mit φ = 3,76 abgebrochen.

Für r = y/(1-cos(φ)) erhält man anhand von φ =3,76 den Wert 2,76m.

Die hier beschriebene Zykloide wird normalerweise als gewöhnliche Zykloide bezeichnet. Neben ihr gibt es noch eine verlängerte und eine verkürzte Zykloide. Ist der Abstand des fest mit dem Rad verbundenen Zeichenstifts vom Mittelpunkt des Rades größer als der Radradius, dann erhält man eine verlängerte Zykloide, ist er kleiner, dann entsteht eine verkürzte Zykloide.

verlängerte Zykloide

verkürzte Zykloide

Normalerweise lässt man zur Darstellung einer Zykloide das Rad nicht an der Unterseite der horizontalen x-Achse, sondern an der Oberseite abrollen. Hier wurde immer wieder mit Blick auf die anfangs gestellte Aufgabe die Unterseite zum Abrollen gewählt. Lässt man das Rad sowohl auf der Unterseite wie auf der Oberseite zur Bildung einer verlängerten Zykloide abrollen, dann erhält man ein schönes Muster, wie es beispielsweise in der nächste Abbildung zu sehen ist.