Wichtige Begriffe und Grundgesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird von Zufallsergebnissen und Zufallsereignissen gesprochen. Die Ergebnisse eines Würfelspiels sind die Zahlen von 1 bis 6.  Ergebnisse sind Unterscheidungsmerkmale von zufälligen Begebenheiten (Zufallsexperimenten), sie schließen sich gegenseitig aus. Die Gesamtheit aller Ergebnisse ω bilden den Ergebnisraum Ω. Eine Teilmenge aus diesem Ergebnisraum wird Ereignis A genannt. Beim Würfelspiel ist z.B. A = {2; 4 ; 6} ein Ereignis (Ereignis „gerade Zahl“). Ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments im Ereignis enthalten, dann sagt man, das Ereignis sei eingetreten. Zu den Teilmengen des Ergebnisraums gehört auch die leere Menge Ø (unmögliches Ereignis) und der Ergebnisraum Ω selbst (sicheres Ereignis).

Additionsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wenn sich zwei Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments gegenseitig ausschließen (disjunkt sind), dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P(A oder B) = P(A V B):

Beispiel:

Es werde nach der Wahrscheinlichkeit gefragt mit der beim Würfelspiel „5“ oder „6“ geworfen wird. Die relative Häufigkeit von „5“ oder „6“ ist die Summe aus der relativen Häufigkeiten von „5“  und  „6“.     h(5 oder 6) = h(5) + h(6).

→ P(5 oder 6) = P(5) + P(6)

Aus dem Gesetz P(A V B) = P(A) + P(B) kann man einen wichtigen Schluss ziehen:

Man stelle sich vor, die n Ergebnisse ω₁, ω₂ ω₃, ω₄...... ω_n eines Zufallsexperiments seien wie beim Würfelspiel gleich wahrscheinlich.

→ P(ω₁) + P(ω₂) + P(ω₃) + P(ω₄) ........ + P(ω_n)    =   n· P(ω₁) = 1      →        P(ω₁) = 1/n

Unter den hier angegebenen Bedingungen erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A nach:

Für das Auftreten einer geraden Zahl beim Würfelspiel gilt beispielsweise: P(gerade) = 3/6 = ½

Anwendung auf das Lottospiel (Kombinatorik)

Wie ist das oben angegebene Additionsgesetzt zu ändern, wenn A und B sich nicht ausschließen ?

Wir stellen uns vor, A und B seien die Ereignisse {1, 2, 3} und {2, 4, 6} eines Würfelspiels. Wenn eine 2 geworfen wird, dann ist sowohl A als auch B eingetreten.

P(A oder B) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(6)

P(A) = P(1) + P(2) + P(3)

P(B) = P(2) + P(4) + P(6)

 → P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(2)

 {2} ist die Schnittmenge von A und B.

Multiplikationsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, mit der bei zweimaligem Würfeln  das Ereignis „6;5“ oder „6;4“ erzielt wird.

Die Ergebnisse von einem Doppelwurf sind die 36 gleich wahrscheinlichen Zahlenpaare {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) ,   (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6)  ...... (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A = {(6;5), (6;4)} :     P(A) = 2/36 = P(6) · P(5 oder 4).

P(6) = 1/6:   Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „6“ beim ersten Wurf (Ereignis B).

P(5 oder 4)= 2/6: Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „5“ oder „4“ beim zweiten Wurf  (Ereignis C).

Das Ereignis A = {(6;5), (6;4)} ist die Schnittmenge aus dem Ereignis B (1. Wurf hat das Ergebnis 6) = {(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)} und dem Ereignis C (2. Wurf hat das Ergebnis 5 oder 4) = {(1;5), (2;5), (3;5), (4;5), (5;5), (6;5),  (1;4), (2;4), (3;4), (4;4), (5;4), (6;4)  }.

Dies Gesetz gilt allgemein, wenn die Ereignisse B und C voneinander unabhängig sind. Diese Unabhängigkeit zweier aufeinander folgender Ereignisse ist z.B. beim Doppelwurf gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Wurf eine 5 oder eine 4 bringt und somit ein Ergebnis aus  C = {(1;5), (2;5), (3;5), (4;5), (5;5), (6;5),  (1;4), (2;4), (3;4), (4;4), (5;4), ( 6;4)  } eintritt, ist vom Ergebnis des 1. Wurfs unabhängig.

Nach folgender Definition wäre C von B abhängig:

B = „Das Ergebnis des 1. Wurfs ist 4 oder 5“

C = „Die Augensumme ist größer als 9“

B = {(4; 1), (4;2), ..... (4;6),      (5;1), (5;2),....... (5;6) }

C = {(4;6), (5;5), (5;6),(6;4),(6;5), (6;6) }  

Ist das Ergebnis des 1. Wurfes unbekannt, dann sind 6 von 36 möglichen Fällen in C enthalten.

→  P(C) = 6/36 = 1/6

Wenn jedoch B mit P(B) = 1/3 eingetreten ist, dann sind die möglichen Ergebnisse:

B = {(4; 1), (4;2), ..... (4;6), (5;1), (5;2),....... (5;6) }

C ist in diesem Fall {(4;6), (5;5), (5;6)}. 

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für C gleich 3/12 = 1/4.

1/4 ist die Wahrscheinlichkeit von C unter der Bedingung: „B ist eingetreten“

Für diese bedingte Wahrscheinlichkeit schreiben wir: P_B(C)

Zufallsvariable und Erwartungswert

Sind Zahlen die Ergebnisse von Zufallsexperimenten wie z.B. beim Würfelspiel, dann kann man diesen Zahlen eine Variable (Zufallsvariable) x zuordnen. Eine solche Zufallsvariable kann auch für den Geldgewinn oder Geldverlust bei einem Glücksspiel stehen. Oft ist der Mittelwert der Zufallsvariablen von Interesse, der z.B. bei einer Vielzahl von Spielen zu erwarten ist. Man spricht vom Erwartungswert.

Wir stellen uns vor zu einem Würfelspiel seien folgende Regeln vereinbart worden:

Beim Wurf einer „6“ erhält der Spieler 5€ als Gewinn, andernfalls muss er 1,1 € in eine Spielkasse werfen.

Wie groß ist seine Gewinnerwartung ?

Nach n Spielen habe der Spieler k-mal die 6 geworfen und hierbei den Gewinn  k·5 – (n-k)· 1,1 erzielt. Der mittlere Gewinn bei einem Spiel beträgt somit  [k·5 – (n-k)· 1,1] / n   =   k/n · 5 + (n-k)/n · (-1,1). k/n ist die relative Häufigkeit h(5) eines Gewinns von 5 €, und (n-k)/n ist die relative Häufigkeit h(-1,1) eines Verlusts von 1,1 €.

Für den mittleren Gewinn G je Spiel kann geschrieben werden: G = h(5) · 5 + h(-1,1) · (-1,1)

Mit wachsendem n strebt h(5) gegen P(5) und h(-1,1) gegen P(-1,1). Der nach den Wahrscheinlichkeiten P(5) und P(-1,1) zu erwartende mittlere Gewinn ist P(5) ·5 + P(-1,1) · (-1,1) = 1/6 · 5 + 5/6 · (-1,1) = - 1/12 .

Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen x erhält man, indem man alle Werte x_i dieser Variablen mit der Wahrscheinlichkeit P(x_i) ihres Auftretens multipliziert und anschließend die Summe aus diesen Produkten bildet. In dem hier geschilderten Beispiel steht x für 5 € oder  –1,1 €.