Wenn sich zwei Personen bemühen, die Breite einer Holzlatte mit einem Zollstocke auf 0,1 mm genau zu messen, dann wird ihnen bewusst, dass ihre Messwerte unsicher sind. Die eine Person wird möglicherweise 23,5 mm die andere aber 23,3 mm angeben. Diese Unsicherheit hat ihre Ursache in den nicht ganz eindeutigen Abgrenzungen der Latte und einer unangemessenen Skalierung des Zollstocks. Bei der Messung der Kraft, die eine Kugel in einem Luftstrom erfährt, oder bei der Bestimmung der Reißkraft ( Reißfestigkeit ) einer Textilfaser wird die Unsicherheit bezüglich eines richtigen Messwerts noch größer. In diesem Fall verursachen Unregelmäßigkeiten der Luftströmung bzw. Materialunterschiede große Schwankungen der Messergebnisse. Da die einzelnen Messwerte stark voneinander abweichen, ist mit der Angabe eines Messwertes keine befriedigende Beschreibung der Kraft gegeben. Besser ist der Mittelwert aus einer Vielzahl von Messergebnissen. Die Abweichungen verschiedener Mittelwerte voneinander werden umso geringer, je mehr Messergebnisse zur Bildung eines Mittelwerts herangezogen werden. Durch Mittelwertbildung erhält man demnach zuverlässigere Werte.
Wenn Mittelwerte M aus n Messwerten, mit steigendem n immer enger zusammenrücken, dann sagt man, dass diesen Werten M eine bestimmte, das Messobjekt (Messereignis) kennzeichnende physikalische Größe G („wahrer Wert“) zuzuordnen sei. Die genannten Mittelwerte beschreiben diese Größe G umso genauer, je größer n ist.
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Als Messwert kann man auch die „relative Häufigkeit“ eines bestimmten Ereignisses betrachten. Dieser Begriff soll hier an einem Beispiel erläutert werden: Ein Würfel werde 100-mal geworfen. Wenn n-mal das Ergebnis 6 erzielt wird, dann sagt man das Ereignis „6“ habe die relative Häufigkeit h = n/100. Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses E ist demnach der Quotient aus der Häufigkeit mit der E eingetreten ist und der Zahl aller Ergebnisse.
Auch für relative Häufigkeiten gilt, dass sie erheblich größeren Schwankungen unterworfen sind als ihre Mittelwerte. Je mehr Einzelwerte gemittelt werden, desto geringer sind die Unterschiede zwischen den Mittelwerten.
Die von diesen Mittelwerten eingegrenzte Größe nennt man Wahrscheinlichkeit P für das Auftreten eines Ereignisses E.
Wenn einem Ereignis E eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann, dann ist die relative Häufigkeit von E ein Messwert dieser Wahrscheinlichkeit P. Die relative Häufigkeit verhält sich zur Wahrscheinlichkeit wie ein Längenmesswert zu einer Länge. Die Wahrscheinlichkeit ist das Merkmal eines Zufallsexperiments, eines beliebig oft wiederholbaren Vorgangs mit unbestimmtem Ergebnis.
Mit dem Programm „Mathe.-Physik“ kann gezeigt werden, dass ein Zufallszahlengenerator, der wie ein Würfel die Zahlen von 1 bis 6 zeigt, mit der Wahrscheinlichkeit P = 1/6 das Ergebnis 6 liefert.
Im Tabellenfenster dieses Programms wird „Tabelle bearbeiten_ Anlegen einer Tabelle_ Entwicklung einer Spalte mit Zufallszahlen von 1 – 6 (Würfel)“ gewählt. Nach einer Abfrage über die gewünschte Zahl von Zufallszahlen ( Wie oft soll der Würfel geworfen werden ?) wird eine Tabellenspalte mit Zufallszahlen gebildet (siehe Abb. 1).
In der Abb. 1 ist der Anfang einer solchen Tabelle mit 500 Zufallszahlen von 1-6 zu sehen.
Zur Ermittlung der relativen Häufigkeit von „6“ wird mit dem Befehl „int(a/6)“ den Sechsern eine 1 und den anderen Zufallszahlen eine 0 zugeordnet ( int(x) ist die größte ganze Zahl <=x ). Mit dem Befehl „S + b“ wird die Summe aller Einsen gebildet, alle Werte b werden nacheinander zu S (Anfangswert = 0 ) addiert. Die Summe S aller Einsen erscheint in der 3. Spalte der Zeile 500. S/500 ist die relative Häufigkeit h500 des Ergebnisses „6“ unter 500 Zufallszahlen. In dem hier dargestellten Fall findet man für h500 den um – 0,0207 von 1/6 abweichenden Wert 0,146.
Abb. 1
Eine Vielzahl solcher relativer Häufigkeiten gewinnt man nach Wahl von „Tabelle bearbeiten_ Anlegen einer Tabelle_ Es wird eine Tabelle mit relativen Häufigkeiten angelegt“.
Zunächst wird nach der Zahl der Zufallszahlen n zur Bestimmung einer relativen Häufigkeit und nach der Anzahl der gewünschten Häufigkeitswerte gefragt. Hiernach wird eine Tabelle mit relativen Häufigkeiten hn aus n Zufallszahlen angelegt. In der Abb. 2 sehen wir links eine Tabelle mit relativen Häufigkeiten h500 und rechts eine Tabelle mit h2000000 . Zu den relativen Häufigkeiten ist auch deren Abweichung von 1/6 angegeben.
Abb. 2
Eine relative Häufigkeit h2000000 kann als Mittelwert aus 4000 relativen Häufigkeiten h500; 1 + h500; 2 + ....h500; 4000 gesehen werden.
Begründung: Wir denken uns die 2000000 Zufallszahlen in 4000 Teilmengen von je 500 Zufallszahlen aufgeteilt. Die Werte a1, a2, .... a4000 stehen für die absoluten Häufigkeiten der „6“ ( Zahl der Ergebnisse „6“) in diesen Teilmengen.
h200000 = (a1 + a2 + .....a4000)/ 2000000 = ( a1/500 + a2/500 +........a4000/500 ) / 4000
= ( h500; 1 + h500; 2 + ....h500; 4000)/ 4000
Vergleicht man die in der Abb. 2 sichtbaren Tabellen mit h500 (links) und h2000000 (rechts), dann ist zu sehen, dass die Mittelwerte aus 4000 Werten h500 erheblich enger um 1/6 liegen als die Einzelwerte h500.