10.4 Newtons Herleitung des Gravitationsgesetzes

Abb. 1

Als Planetenbahn wird eine Kreisbahn vorausgesetzt.

Die Kraft der Sonne auf den Planeten ist in diesem Fall die Zentripetalkraft:

F = m_P · v² /r.

m_P : Masse des Planeten, v: Geschwindigkeit des Planeten

v = 2 ·π · r / T    →    F = m_P · 4 ·π² · r / T²

T ist unerwünscht, denn es wird eine Gleichung gesucht, die F ausschließlich in seiner Abhängigkeit von r und den Massen m_Sonne und m_Planet zeigt. Mit Hilfe des 3.Keplerschen Gesetzes kann T durch r ersetzt werden.

r³/ T² = Konstante = K    →    T² = r³ /K    →    F = m_P · 4 ·π² · K /r²

Hieraus schließen wir:

1.) F ~ 1/r²

2.) F ~ m_P

3.) Wenn die Kraft der Sonne auf den Planeten der Planetenmasse proportional ist, dann muss nach dem Wechselwirkungsgesetz die gleich große Kraft des Planeten auf die Sonne der Sonnenmasse m_S proportional sein.

F ~ m_P , F ~ m_S, F ~ 1/r²    →     F ~ m_P · m_S / r²

Newton hat diese Proportionalitätsgleichung in der hier beschriebenen Weise hergeleitet. Die Gravitationskonstante blieb ihm unbekannt