1.10.3 Massen von Erde, Sonne und Mond

Zur Behandlung der hier gegebenen Aufgaben werden Kreisbahnen vorausgesetzt.

1. Masse der Erde

Für die Erdanziehungskraft F = m· g , die ein kg-Körper an der Erdoberfläche erfährt, können wir schreiben:

F = G · (1kg ·M_Erde) / r²  ;    r = Erdradius = 6370000 m

→     1 kg ·g = G · (1kg ·M_Erde) / r²        →      M_Erde  = r² · g /G = 5,98 · 10²⁴ kg

2. Masse der Sonne

Da die Bahn der Erde fast kreisförmig ist,  kann für die Anziehungskraft  F der Sonne auf die Erde geschrieben werden:

F = M_Erde · (2 · π / T )² · r ;     2 · π / T ist die Winkelgeschwindigkeit ω der Erde;    T ist die Zeit eines Jahres

F =M_Erde · ω² · r  ist die zur Bahn gehörende Zentripetalkraft.

→      G · (M_Sonne · M_Erde) /r² = M_Erde · (2 · π / T )² · r

M_Sonne =  4 · π² · r³ /( T² · G) = 1,99 · 10³⁰ kg

3. Masse des Mondes

Bei der Bestimmung der Mondmasse muss berücksichtigt werden, dass sich Erde und Mond  um einen nahe der Erdoberfläche liegenden gemeinsamen Schwerpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit ω drehen (siehe Abb. 1).

Abb. 1

G · M_Mond · M_Erde / r²    =    M_Erde · ω² · r_E ;             r_E + r_M = r

M_Mond · ω² · r_M = M_Erde · ω² · r_E   

  →       M_Mond  · r_M   =   M_Erde  · r_E   

  →       r  =   r_E  + (M_Erde / M_Mond ) · r_E   

→     r  = r_E · [ (M_Mond + M_Erde ) / M_Mond ] 

Setzt man  r_E = r · M_Mond / (M_Mond + M_Erde )  in die Gleichung  

G · M_Mond · M_Erde / r²    =    M_Erde · ω² · r_E  ein, dann gelangt man zu: 

G · M_Mond · M_Erde / r²  =  M_Erde · ω² · r · M_Mond / (M_Mond + M_Erde )       

→         M_Mond + M_Erde    = ω² · r³ /G

→        M_Mond   =   ω² · r³ /G   - M_Erde = 7,3 ·10²² kg