Aufgaben


1. Eine Holzkugel (Dichte ρH des Holzes = 0,7 g/cm3) mit dem Radius R = 10 cm schwimmt im Wasser.

Wie groß ist die Eintauchtiefe h ?

Abb. 1

 

 



Lösungen


Zu1.:

Das Volumen des  verdrängten Wassers ist gleich dem Volumen des im Wasser liegenden Kugelsegments  V = π · ( R· h2 – (1/3) · h3 ).

Nach dem Prinzip des Archimedes ist die Gewichtskraft des verdrängten Wassers gleich der Gewichtskraft der Kugel.

→ π · ( R· h2 – (1/3) · h3 ) · ρW · g = (4/3)· π · R3 · ρH · g

ρW: Dichte des Wassers = 1 g/cm3

→     R· h2 – (1/3) · h3   = (4/3) · R3 ·ρH / ρW

→     R· h2 – (1/3) · h3   = (4/3) · R3 · 0,7

h/cm = x;   R’ = R/cm

→  (4/3) · R’3 · 0,7 -  R’· x2 + (1/3) · x3   = 0

→  4 · R’3 · 0,7 -  3 ·R’· x2 +  x3   = 0

R’  = 10

2800 – 30 · x2  + x3 = 0

2800· x0 + 0 · x1 – 30 · x2  + x3 = 0

Es handelt sich um eine Gleichung 3. Grades, die mit dem Unterprogramm „Mathe_ Gleichungen n. Grades“ gelöst werden kann.

Die zu x0, x1, x2 und x3 gehörenden Beiwerte werden in das in Abb. 2 sichtbare Fenster eingetragen.

Abb. 2


Nach „Start“ werden die Lösungen im Rechenfenster angezeigt.

x = 12,734 ;    h = 12,734 cm

 „215“ und „START“ führt zu dem angegebenen Unterprogramm.


 

Die Lösung der Gleichung ist auch mit dem nebenstehenden Iterationsprogramm möglich, welches mit „216“ und „START“ aufgerufen werden kann.

Aus 2800 – 30 · x2  + x3 = 0 folgt:

x = 2800/ (30·x - x2)

Wir setzen in den rechten Teil der Gleichung für x einen Schätzwert (x = 1) ein und erhalten so mit 2800/ (30·x - x2) einen neuen Näherungswert, den wir mit dem ursprünglichen Näherungswert mitteln.

Der Mittelwert ist ein besserer Näherungswert.

Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis die Differenz zweier aufeinander folgender Näherungswerte kleiner als 0,001 ist.

 

 

|d|x|=|1|1|

 

wiederhole bis d<0.001

x = (2800/ (30*x - x^2) +x)/2

d = abs(x-a)

a=x

wenn d<0.001

?x

ohnewenn

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Berechnung des Kugelvolumens und des Kugelsegmentvolumens