Der Satz des Pythagoras

Aufgabe:

Es soll ein Dach mit einer bestimmten Breite und einer bestimmten Höhe errichtet werden. Der Zimmermann muss bei Kenntnis von Breite und Höhe die Länge der Dachsparren berechnen.

Abb. 1

Der Mathematiker beschreibt diese Aufgabe mit den Worten:

Berechne die Länge der Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe der Kathetenlängen a und b. a ist hier die halbe Dachbreite.

Abb. 2

Zur Lösung der Aufgabe muss eine Gleichung gefunden werden,   die a, b und c enthält.  Da an dem vorliegenden Dreieck keine Beziehungen zwischen den genannten Größen  erkennbar  sind,  werden wir versuchen, Dreiecke der beschriebenen Art zu einem geometrischen Gebilde  zusammenzustellen, an dem wir möglicherweise mehr Erfolg haben. So kann  man vier Dreiecke zu  einem Quadrat zusammenrücken, wie dies mit „START“ nach der Eingabe von „71“ (siehe unten) vorgeführt wird.   Das letzte Bild der Serie ermöglicht die Aufstellung einer Gleichung mit a, b und c.

Rote Fläche + grüne Fläche = Gesamtfläche

Jeweils zwei Dreiecke kann man zu einem Rechteck mit der Breite b und der Länge a zusammenfassen.

® c²  + 2 · a · b  = (a + b )²  ®  c² + 2· a · b = a² + 2 · a · b + b²

® c² = a² + b²

Satz des Pythagoras

Abb. 3