Bernoullische Gleichung

Wasser der Masse m wird mit einem Kolben K₁  aus einem Rohr (Querschnitts A₁, Wasserdruck p₁) in ein engeres Rohr  (Querschnitt A₂, Wasserdruck p₂ ) gleichmäßig gedrückt. Im engeren Rohr wird hierbei vom Wasser ein  Kolben K₂  verschoben.  

Wie ändert sich der Druck p beim Übergang vom breiten zum engen Rohr ?

Abb. 1

Die Strömungsgeschwindigkeit v₂ im engen Rohr ist größer als die Strömungsgeschwindigkeit v₁ im weiten Rohr. Demgemäß nimmt die kinetische Energie zu. Der Energiezuwachs ist gleich der Differenz zwischen der dem Wasser zugeführten Energie W₁ = A₁ · p₁ · s₁ und der vom Wasser abgegebenen Energie  W₂ = A₂ · p₂ · s₂ ·

Hinweis: p = F/A  →  F = p· A

↓

m · v₂² / 2 - m · v₁² / 2   = A₁ · p₁ · s₁ - A₂ · p₂ · s₂

A₁ · s₁ = A₂ · s₂  : Volumen der verdrängten Wassermenge

↓

  (v₂² / 2 – v₁² / 2   ) · m / (A₁ · s₁)   =  p₁  - p₂

m / (A₁ · s₁ ) = Dichte des Wassers ρ

(v₂² / 2 – v₁² / 2   ) · ρ   =  p₁  - p₂

↓

 ρ ·v₂² / 2  + p₂  =  ρ ·v₁² / 2  + p₁

Bernoullische Gleichung

 In einem strömenden Medium nimmt der Druck mit steigender Geschwindigkeit ab.

Anhand der Bernoullischen Gleichung kann der Auftrieb eines Flugzeugtragflügels (Abb. 2) erklärt werden. Auf der Oberseite des Tragflügels ist die Luftgeschwindigkeit größer als auf der Unterseite. Dementsprechend ist der Luftdruck auf der Unterseite größer als auf der Oberseite. Unter diesem Druckgefälle wird der Tragflügel nach oben gedrückt.

Abb. 2

Hier ist anzumerken, dass die nach der Bernoullischen Gleichung zu erwartenden Druckschwankungen auf die Beschleunigung der Luft an den Tragflügeln zurückzuführen ist (siehe  Theoretischen Mechanik von A. Budo,  Seite 451).  Die Begründung des Auftriebs mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung steht nicht im Widerspruch zu der Erklärung „die Beschleunigung der Luft sorge für den Auftrieb“.