Kosinussatz

 

Zu einem Dreieck seien b, c und  α bekannt. a soll berechnet werden.

 

a2 = d2 + h2 ;  h = b · sinα

 

(c - d) / b = cos α ;    c – d = b · cos α ;   d = c – b · cos α

 

→  a2 = (  c – b · cos α )2 + (b · cos α )2

 

→   a2 = c2 – 2· c · b· cos α + b2 · cos2 α + b2 · sin2 α

 

→   a2 = c2 – 2· c · b· cos α + b2 · (cos2 α +  sin2 α );   cos2 α +  sin2 α   = 1

 

→  a2 =  b2 + c2 – 2· c · b· cos α

 

Abb. 1

 

 

Subtrahiert man von der Summe aus den Quadraten zweier Seiten das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, dann erhält man das Quadrat der dritten Dreieckseite.

Kosinussatz

 

Rechenbeispiel:

b = 5cm; c = 8cm; α = 40°

a2 = 25 +64   – 80 · cos 40° = 89 - 80 · cos 40° 27, 7   →    a = 5,26 cm

    

ACHTUNG !

Im Rechenfenster des Programms  „Mathe.-Physik“ kann der Menüpunkt „Dreiecksberechnung“ gewählt werden. Nach seiner Wahl erscheint  ein  Eingabefenster  für  Winkel und  Seiten  eines  Dreiecks.  Anhand der   ersten   drei   Angaben werden die anderen Größen des Dreiecks berechnet. Im Rechenfenster ist eine Fortsetzung der Berechnungen möglich.