Trägheitsmoment einer Kugel

Abb. 1

Abb. 2

Eine Halbkugel wird in n ( Bsp.: n =1000) Scheiben gleicher Höhe eingeteilt. Das Trägheitsmoment einer solche Scheibe weicht bei feiner Aufteilung nur geringfügig von dem Trägheitsmoment eines Zylinders gleicher Dicke R/n ab, dessen Radius mit dem Radius der Scheibenunterseite übereinstimmt. Mit zunehmender Verfeinerung der Aufteilung streben die Unterschiede gegen 0.

Der k. Zylinder in der Höhe k ·R/n hat das Trägheitsmoment j (siehe Abb. 2):

j = ½ · m_k r² ;   r² + (k ·R/n)² = R²  ;     r² = R² · (1- k² / n² )

→   j = ½ · m_k · R² · (1- k² / n² );   

m _k = π ·r² · R/n · ρ        ρ: Dichte des Materials

r² = R² · (1- k² / n² )

↓

m _k = π ·R² · (1- k² / n² ) · R/n · ρ

j = ½ · m_k · R² · (1- k² / n² )

↓

     j = ½ ·  π · R⁵ · ρ· (1- k² / n² )² / n

Die Masse der Halbkugel ist m_H = 2/3 · π· R³ · ρ 

Zur Berechnung des Kugelvolumens

 j/m_H = 3/4 · R² · (1- k² / n² )²/n   →     j = m_H · 3/4 · R² · (1- k² / n² )²/n

Die Summe aller Trägheitsmomente j ist das Gesamtträgheitsmoment J_H der Halbkugel

J_H = m_H · (3/4) · R² · { (1- 0² / n² )²/n + (1- 1² / n² )²/n + (1- 2² / n² )²/n  ……..}

s = [ (1- 0² / n² )²/n + (1- 1² / n² )²/n + (1- 2² / n² )²/n  ……..]

Der  Wert s wird für n = 1000 mit dem folgenden Programm berechnet:

|s|k|n|=|0|0|1000|

wiederhole bis k=n

s=s+3/4*(1-k^2/(n^2))^2/n

k=k+1

wenn k=n

?s=

?s

ohnewenn

zurück

Das Programm kann nach Eingabe von „170“ und „START“ ausgeführt werden.

 Es liefert für n = 1000 den Wert  s = 0,400375   und für n = 10000 den Wert s= 0.40003749.    

→   s strebt mit wachsendem n gegen 0,4 = 2/5.

→ J_H = 2/5 · m_H · R²

→  J_Vollkugel = J = 2/5 · 2· m_H · R² ;     2· m_H = m_Vollkugel = m

→  J_Vollkugel = 2/5 · m · R²