Berechnung des Zylinderträgheitsmoments J

Zur Berechnung des Trägheitsmoments J denken wir uns den Zylinder mit dem Radius R, der Masse m und der Breite B  in n  konzentrische, dünnwandige Hohlzylinder mit den Radien r_k und den Wanddicken d = R/n eingeteilt (Bsp.: n = 500).

Abb. 1

Abb. 2

Für das Trägheitsmoment j eines solchen dünnwandigen Hohlzylinders mit der Masse m_k gilt:

j = m_k · r_k²

m_k = 2·π·r_k ·B· (R/n) ·ρ

R/n = Wanddicke des Hohlzylinders (n =500),     ρ = Dichte des Materials

→ j = 2·π·r_k ·B· (R/n) ·ρ  ·r_k²

j = 2·π·r_k³ ·B·(R/n) ·ρ = 2· π· B · ρ ·R⁴  ·(r_k /R)³/n

Das Gesamtträgheitsmoment J des Vollzylinders erhalten wir durch Summation der einzelnen j.

J = 2· π· B · ρ ·R⁴ ·[(r₁/ R)³ /n + (r₂/ R)³ / n + (r₃/ R)³ / n........] = 2· π· B · ρ ·R⁴ [(1/ n)³/n + (2/n)³ /n +(3/n)³/n........]

r₁ = R/n , r₂ = 2· R/n, r₃ = 3· R/n……

→    r_k/ R haben die Werte 1/n, 2/n, 3/n .........n/n ;  n/n = 1

Die Berechnung der  Summe w = [(1/ n)³/n + (2/n)³ /n +(3/n)³/n........] geschieht nach dem folgenden Programm:

|w|k|n|=|0|0|500|

wiederhole bis k = n

k=k+1

w = w+(k/n)^3/n

wenn k = n

?w=

?w

ohnewenn

zurück

Nach dem Eintrag von „31“ und  „START “ kann das Programm ausgeführt werden.

Es liefert für w den Wert ¼.

→ J = ½ · π· B · ρ ·R⁴

Statt des Innenradius r_K sollte ein Wert genommen werden, der zwischen dem äußeren und inneren Radius des Hohlzylinders liegt. Der durch r_K verursachte Fehler geht jedoch mit kleiner werdender Wanddicke ( wachsendem n ) gegen 0.

Wie verhält sich dieses Trägheitsmoment zur Gesamtmasse m des Zylinders ?

m = π·R² · B · ρ

J/m = ½ · R²  →  J = ½ · m · r²