Nach
Eingabe von „42“ und „START“
sehen wir:
Einem
an einer Spiralfeder auf und ab schwingenden Gegenstand G
kann ein gleichförmig kreisender Zeiger
zugeordnet werden, dessen Spitze sich
immer auf der Höhe von G befindet.
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Diese
Tatsache ermöglicht die Bestimmung des
Körperstandortes zu bestimmten Zeitpunkten.
Wenn
z.B. ein Körper mit der Schwingungsweite A = 10 cm und
der Schwingungszeit T (Dauer einer Schwingung) zum Zeitpunkt t =
0 nach oben durch die Ruhelage ( x-Achse) schwingt, dann
kann der Standort 1/10 T später auf
folgende Weise bestimmt werden (siehe Abb. 1):
Ein
Zeiger der Länge A wird so in das Koordinatensystem
eingezeichnet, dass er mit der x-Achse einen 36°-Winkel
bildet ( 36° = 360°/10). Mit dem y-Wert yz der
Zeigerspitze erhält man die Auslenkung des schwingenden
Körpers.
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Abb.
1
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Zunächst
kann die Auslenkung yz
nur
anhand einer Zeichnung bestimmt werden. Eine
Berechnungsmethode erscheint
wünschenswert. Die Abhängigkeit
der Auslenkung yz
vom
Radius r und dem Winkel α soll deshalb
untersucht werden.
Nach
dem Strahlensatz gilt bei konstantem Winkel:
yz
~
r → yz
/r
= Konstante k. yz
/r
ist ausschließlich vom Winkel α abhängig.
Dies
nur von α abhängige Verhältnis yz
/ r nennen wir sin α (sprich Sinus von α ).
yz
/r = sin α
Nach
Eingabe von „126“ und „START“ wird die
Abhängigkeit des Terms sin(α) von α graphisch
dargestellt.
Der
für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine
Längeneinheit lang.
Somit
gilt in diesem Fall: sin(α) = yz
/ r = yz /
1 = yz
yz
ist der y-Wert der Zeigerspitze.
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Für
den ebenfalls durch α festgelegten Quotienten xz
/r schreiben wir cos α (sprich Kosinus von α).
xz
/r = cos α
Nach
Eingabe von „127“ und „START“ wird die
Abhängigkeit des Terms cos(α) von α graphisch
dargestellt.
Der
für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine
Längeneinheit lang.
Somit
gilt in diesem Fall: cos(α) = xz
/ r = xz /
1 = xz
xz
ist der x-Wert der Zeigerspitze.
Die
der Kreisbewegung zugeordnete x-Achse ist bei dieser Vorführung
nach oben gerichtet.
Beim
Vergleich der Darstellungen zu sin α
und cos α fällt auf:
cos(α-90°) = sin(α)
→ cos(α)
= sin(α+90°)
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Der
Quotient yz
/ xz
trägt den Namen tan α ( sprich Tangens von α )
yz
/xz
= tan α
yz
/r = sin α;
xz
/r = cos α
→ sin
α /
cos α =
tan α
In
Abb. 2 ist erkennbar, wie am Einheitskreis ( Kreis mit dem Radius
eine Längeneinheit) tan α zu einem Winkel α
bestimmt werden kann.
Abb.
2
Nach
Eingabe von „128“ und „START“ wird tan(α)
in Abhängigkeit von α graphisch dargestellt.
sin
, cos und tan als Seiteverhältnisse im rechtwinkligen
Dreieck
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