Aufgaben

Die Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie in der zweiten Hälfte dieser Seite !

1. Ein rotierender Vollzylinder (Radius R , Masse m ) mit waagrechter Rotationsachse fällt aus geringer Höhe auf einen ebenen

Boden. Die Umfangsgeschwindigkeit vor dem Aufschlag beträgt v_o = 12 m/s.

1.Welche Geschwindigkeit erreicht der Zylinder nach dem Aufsetzen auf dem Boden, wenn die Rollreibung vernachlässigt

werden kann ?

2. Wie groß ist der Energieverlust des Zylinders während seiner Beschleunigung auf dem Boden?

Lösungen

Zu 1.:

Dem rollenden Zylinder wird ein Koordinatensystem mit den folgenden Eigenschaften zugeordnet:

1. Sein Ursprung liegt in der Höhe der Rotationsachse.

2. Seine z-Achse hat die Richtung des Drehimpulsvektors.

3. Die x-Achse zeigt die Beschleunigungsrichtung des Zylinderschwerpunkts an.

Nach dem Aufschlag reibt der Zylinder auf dem Boden. Die beschleunigende Kraft ist demnach die Gleitreibungskraft F = m× g × m ( m: Reibungskoeffizient).

a = F/m = g × m

v = g × m × t

v: Geschwindigkeit des Zylinderschwerpunkts nach der Beschleunigungszeit t.

Das zur z-Achse parallele Drehmoment mit der z-Koordinate -m×g×m×R bewirkt eine Änderung des Drehimpulses mit der z-Koordinate L .

- m× g × m × R = dL/dt

L = w × J; w = Umfangsgeschwindigkeit v‘/R ® L = J× v‘/R

dL/dt = J × a‘/R

a‘: Umfangsbeschleunigung in Bezug auf den Zylinderschwerpunkt.

- m× g × m × R = dL/dt; dL/dt = J × a‘/R ; J = ½ × m × R²

¯

a‘ = - 2 × g × m ® v‘ = v_o - 2 × g × m × t

Die Endgeschwindigkeit v_E ist nach der Beschleunigungszeit t_E dann erreicht, wenn v‘ = v ist.

v_o - 2 × g × m × t_E = g × m × t_E ® t_E = v₀ / (3× g × m )

v_E = g × m × v₀ / (3× g × m ) = v₀ / 3 = 4 m/s

Zu 2.:

Rotationsenergie E_A vor dem Aufschlag:

E_A = ½ × J × w² = ½ × J × v₀ ² / R² = m × v₀² / 4

Energie E_E am Ende der Beschleunigung:

E_E = Energie zur Schwerpunktsbewegung + Rotationsenergie

E_E = m ×v_E ²/ 2 + m ×v_E ²/ 4 = ¾ ×m ×v_E² ; v_E = v₀ /3

E_E = m ×v₀ ²/ 12

2/3 der Anfangsenergie geht infolge der Reibung verloren.