Aufgaben
Die Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie in der zweiten Hälfte dieser Seite !
1. Ein Kind dreht sich in einem Kettenkarussell so, wie dies in der Abb. 1 angedeutet ist.
Welche Geschwindigkeit hat das Kind ?
Abb. 1
2. Eine mit Wasser gefüllte Küvette rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 15 s-1 um ihre Symmetrieachse. Hierbei bildet das Wasser eine parabelförmige Oberfläche aus.
Bestimmen Sie den Funktionsgrafen y = k·x2 der zugehörenden Parabel !
Abb. 2
3. Auf einer um eine senkrechte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2 s-1 rotierenden Scheibe schwingt eine von einem Stab geführte Kugel K der Masse m = 100 g um den Scheibenmittelpunkt. Die Schwingungsfrequenz der Kugel auf einer ruhenden Scheibe beträgt 1 Hz.
Mit welcher Frequenz schwingt die Kugel auf der rotierenden Scheibe ?
Abb. 3
4. Eine Kugel wird auf einer mit ω = 2 s-1 rotierenden Scheibe unter der Zentrifugalkraft auf einem Führungsstab nach außen beschleunigt.
Im Abstand 5 cm vom Scheibenmittelpunkt beginnt ihre Bewegung, dort wird sie freigegeben.
Aufgabe, die Schüler und Lehrer gemeinsam lösen sollten.
Schreiben Sie ein kleines Programm, welches den Abstand x der Kugel vom Scheibenmittelpunkt in Abhängigkeit von der Beschleunigungszeit t graphisch darstellt.
Versuchen Sie anhand des mit diesem Programm gewonnenen t-x-Diagramms einen Funktionsgraphen zu finden, welcher den Abstand x der Kugel vom Scheibenmittelpunkt in Abhängigkeit von der Beschleunigungszeit t beschreibt
Abb. 4
Lösungen
Zu 1.:
Das Kind mit der Masse m hat von der Drehachse den Abstand r + d. d = L ·sin(α). Bei der Winkelgeschwindigkeit ω erfährt es die Zentrifugalkraft FZ.
FZ = m · ω2 · [ r+ L ·sin(α)]
Die Resultierende aus FZ und der auf das Kind wirkenden Gewichtskraft m · g ist parallel zu L.
m · ω2 · [ r+ L ·sin(α)] / (m ·g) = tan(α)
ω = 1,12 s-1
Abb. 5
Zu 2.:
Wir betrachten eine Wassermenge M der Masse m auf der Wasseroberfläche. Auf M wirkt die Gewichtskraft m ·g und die Zentrifugalkraft m·ω2·x ( x = r ! ). Da M nicht entlang der Oberfläche verschoben wird, muss die Resultierende aus den beiden Kräften senkrecht zur Wasseroberfläche stehen. Die Parabeltangente durch M hat den Steigungswinkel α. tan(α) ist die Steigung y' = dy/dx.
y' = 2·k·x
y' = m·ω2·x / (m ·g) = ω2·x / g → k = ½ · ω2 / g
y = ½ ·ω2 ·x2/g
Zu 3.:
Die linke und die rechte Feder haben die Federkonstanten D. Die zurück treibende Kraft bei einer Schwingung auf einer ruhenden Scheibe beträgt demnach F = 2·D·x. Unter ihr schwingt die Kugel auf einer ruhenden Scheibe mit der Frequenz fR .
fR = 1/(2·π) · (2·D/m)½ → D = 4·π2 · fR2 · m / 2 → D = 1,97 N/m
Auf der rotierenden Scheibe wirkt der Federkraft die Zentrifugalkraft m·ω2· x entgegen.
Die zurück treibende Kraft ist somit F = 2·D·x - m·ω2· x = (2·D - m·ω2 )· x
(2·D - m·ω2 ) = D’ → D’ = 3,54 N/m
↓
f = 1/(2·π) · (D’/m)½ → f = 0,94 Hz
Zu 4.:
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Programm: |v|x|h|t|w|=|0|5|0.001|0|2| w steht für die Winkelgeschwindigkeit ω und h für Δt. wiederhole bis t>2.5 a=w^2*x v=v+a*h x=x+v*h t=t+h _t;x;;1 zurück Vorführung mit „186“ und „START“
Das von diesem Programm erzeugte Diagramm ist in Abb.6 zu sehen. Es ähnelt dem Graphen folgender Exponentialfunktion:
x = b· e c·t ( b und c sind Konstanten)
Mit „Mathe_E-Funktion“ wird eine Exponentialfunktion f(t) = b· e c·t , deren Graph durch die Punkte P1 und P2 geht( siehe Abb. 7). x = f(t) = 2,6 cm · e ω·t (ω = 2 s-1 ) Der Graph von f(t) weicht nur bei kleinen Zeiten t vom Bewegungsdiagramm ab.
Nach x = f(t) = 2,6 cm · e ω·t hätte man zum Zeitpunkt t=0 die Anfangsgeschwindigkeit v = 2,6 cm · ω. Die Anfangsgeschwindig-keit der Kugel ist jedoch 0.
Vermutlich gelangt man zu einer passenden Funktion f(t), wenn man zu e ω·t noch einen Term addiert, der nur bei kleinen Werten t einen deutlichen Einfluss hat und der dazu führt, dass f(t) die Anfangsgeschwindigkeit 0 liefert.
Als Summand kommt e -ω·t in Frage. e ω·t + e -ω·t hat bei t = 0 den Wert 2 und die Ableitung d(e ω·t + e -ω·t )/dt = 0. 5 cm ist der Anfangswert von x. Demgemäß erscheint f(t) = 5 cm · (e ω·t + e -ω·t ) /2 als passende Funktion. Diese Funktionsgleichung wird in das Tabellenfenster von „Mathe.-Physik“ geschrieben (siehe nächste Zeile).
f(t) = 5*(exp(w*t)+exp(-w*t))/2
Nach einem Doppelklick auf der Funktionsgleichung entsteht ein Graph, der dem Bewegungsdiagramm gleicht (siehe Abb. 8). Anmerkung: Die Funktion f(x) = (e x + e -x )/2 heißt Kosinus-hyperbolicus. Abkürzung: cosh(x) Die Funktion f(x) = (e x - e -x )/2 heißt Sinus-hyperbolicus. Abkürzung: sinh(x) Für f(t) kann somit geschrieben werden: f(t) = 5 cm · cosh(ω· t)
Warum wählen wir die Namen sinh(x) und cosh(x) ?
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