Herleitung der Gleichung Q = I_o· T/(2·π)

Damit diese Gleichung mit den schulüblichen Kenntnissen der Mechanik hergeleitet werden kann, wird die Versuchsanordnung in Gedanken abgewandelt. Nach Abb. 1 hängt der Magnet  an einer Spiralfeder ( Federkonstante D) in der Spule mit 20000 Windungen. Eine Kondensatorentladung verursacht einen kurzzeitigen Kraftstoß und erteilt damit dem Magneten einen Impuls p = m·v_o, je nach Polung nach oben oder nach unten. Der Magnet beginnt zu schwingen. Für die Elongation der Schwingungen gilt:

Der Impuls m·v_o ist der Ladung Q proportional.

Begründung:

Kraft F ~  Stromstärke I    →   F = k· I (k: Proportionalitätskonstante)

F = dp/dt;   I = dQ/dt →    dp/dt = k· I = k·dQ/dt   

Nach beidseitige Integration erhalten wir:  p = k·Q 

Abb. 1

Für die Schwingungsamplitude A gilt :  A ~ p  und folglich auch  A ~ Q

Begründung:

s =A·sin(ω·t) ;     ω = 2·π/ T.  Mit der ersten Ableitung erhält man v:      v = A · ω ·cos(ω·t)

Hieraus ergibt sich für die Maximalgeschwindigkeit beim Anstoß: v_o = A· ω und somit auch  p = A · m · ω 

p = A · m · ω  ;  p = k·Q →     Q = A·ω·m/k

Mit ω² = D/m     ↔      m = D/ω² erhalten wir: Q = A·D/(k·ω)

A·D beschreibt die Kraft, die erforderlich ist, den Magneten um A aus der Ruhelage zu ziehen.

Bestimmung der Proportionalitätskonstanten k:

Ein Strom der Stärke I_o fließe durch die Spule  und bewirke den Ausschlag A.

F = D·A = k·I_o   →  k = D·A/I_o

Wir setzen k = D·A/I_o in die Gleichung Q = A·D/(k·ω) ein.

  →    Q = I_o/ω = I_o· T/(2·π)       q.e.d.