3.6.3 Berechnung von Wechselströmen in Leiternetzen
In 3.3.8 wurden als Grundlage zur Berechnung von Gleichströmen und Gleichspannungen in einem Leiternetz eine Maschenregel und eine Knotenregel angegeben. Diese Regeln gelten auch für Wechselstrom, wenn man sie auf Strom- und Spannungszeiger bezieht.
Abb. 1
Maschenregel: Die Vektorsumme der den einzelnen Elementen einer Masche zugeordneten Spannungszeiger ist ein Nullvektor.
U1;2 + U3;4 + U5;6 + U7;8 = 0
Abb. 2
Knotenregel: Die Vektorsumme der den Zuleitungen zu einem Knoten zugeordneten Stromzeiger ist ein Nullvektor.
I1 + I2 + I3 + I4 = 0
Die Berechnung von Wechselströmen und Wechselspannung in Leiternetzen verläuft ähnlich wie die Berechnung von Gleichströmen und Gleichspannungen, wenn man die Strom- und Spannungszeiger mit komplexen Zahlen beschreibt.
So kann man für den Spannungszeiger in Abb. 3 schreiben: U* = U0 · [cos (ω·t+φ) + i·sin(ω·t+φ)]
Der imaginäre Anteil steht für die augenblickliche Spannung.
Abb. 3
Den Spannungen U* und I* werden komplexe Widerstände Z* = U* / I* zugeordnet.
Z*Kondensator = - i /( ω · C)
Z*Spule = i· ω · L
Z*R = R
Begründung:
1. zum Kondensator:
U* = U0 · [cos (ω·t) + i·sin(ω·t)] → I* = I0 · [cos (ω·t + π/2) + i·sin(ω·t + π/2)]
Z* = U*/I* = U0 / I0 · [cos (-π/2) + i·sin(-π/2)] = - i · U0 / I0 = - i /( ω · C)
2. zur Spule:
I* = I0 · [cos (ω·t) + i·sin(ω·t)] → U* = U0 · [cos (ω·t+ π/2) + i·sin(ω·t+ π/2)]
Z* = U*/I* = U0 / I0 · [cos (π/2) + i·sin(π/2)] = i · U0 / I0 = i· ω · L
Die komplexen Widerstände werden bei Reihen- und Parallelschaltungen genauso verknüpft wie ohmsche Widerstände.
Beispiel 1: Reihenschaltung Kondensator – Spule
Abb. 4
Z* = -i/ (ω·C) + i · ω ·L = 0 + i· [ω ·L – 1 / (ω· C)]
Z = U0 / I0 = |Z*| = | ω ·L – 1 / (ω· C) |
Beispiel 2: Die Wechselströme in dem in Abb. 5 skizzierten Netzwerk unter der Spannung U1;2 = U0 · sin (ω · t) sollen berechnet werden.
Abb. 5
R2 = 5 Ω ; R3 = 15 Ω ; R5 = 20 Ω; U0 = 10 V
ω = 314 s-1 ; C = 100 µF; L = 10 mH
R1 = - i· 31 Ω; R4 = i · 3,14 Ω
Die komplexen Widerstände werden hier entgegen den Gepflogenheiten auch mit R bezeichnet und für I* wird I geschrieben.Dies geschieht, um die Ähnlichkeit mit den Gleichstromrechnungen in 3.3.8 deutlich zu machen.
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Die passenden Maschen – und Knotengleichungen: |
R1 · I1 + R2 · I2 – U = 0 R3 · I3 + R4 · I4 – U = 0 R1 · I1 + R5 · I5 – R3 · I3 = 0 I1 – I5 - I2 = 0 I3 + I5 – I4 = 0 |
Auf dieser Webseite ist ein Programm zur Lösung linearer Gleichungen mit komplexen Zahlen verfügbar. Damit wurden die folgenden Werte ermittelt.
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x(1) = (0.0530716377588198) + (0.31274008528591) i x(2) = (0.0610114712273593) + (0.329044154104683) i x(3) = (0.635743064966161) + (-0.131420143126592) i x(4) = (0.627803231497621) + (-0.147724211945365) i x(5) = (-0.00793983346853947) + (-0.0163040688187731) i |
|x| = 3.1721E-1 |x| = 3.3465E-1 |x| = 6.4918E-1 |x| = 6.4495E-1 |x| = 1.8135E-2 |
W = 80 ° W = 79 ° W = 348 ° W = 346 ° W = 244 ° |
|x| = Scheitelwert