3.6.2 Reihen- und Parallelschaltungen von Wechselstromwiderständen
3.6.2.1 Reihenschaltung
Abb. 1
In Abb. 1 sehen wir eine Spule (Induktivität L ) in Reihe geschaltet mit einem Kondensator (Kapazität C). Beide werden von einem Wechselstrom I = I0 ·sin(ω·t) durchflossen.
Wie groß ist die Spannung zwischen den Anschlüssen 1 und 2 ?
Abb. 2
In Abb. 2 ist neben dem Stromzeiger auch der Zeiger zur Kondensatorspannung UC und der zur Spulenspannung UL zu sehen. Dem Strom läuft die Spulenspannung um π/2 voraus, die Kondensatorspannung um π/2 nach. Die Vektorsumme der beiden Spannungszeiger beschreibt die Spannung U1;2.
U0 = | U0L – U0C |; U0L = ω· L· I0 ; U0C = [1/(ω · C)] · I0 → U0 = I0 · | ω · L – 1/(ω · C)|
Der Wechselstromwiderstand U0 / I0 = Z zwischen den Punkten 1 und 2 beträgt Z = | ω · L – 1/(ω · C)|
Im Fall ω · L = 1/(ω · C) ist Z = 0.
ω · L = 1/(ω · C) → ω2 = 1/ (L· C)
In Abb. 3 sehen wir eine Spule (Induktivität L ) in Reihe mit einem Widerstand R. Beide werden von einem Wechselstrom
I = I0 ·sin(ω·t) durchflossen.
Wie groß ist die Spannung zwischen den Anschlüssen 1 und 2 ?
Abb. 3
In der nächsten Abbildung ist neben dem Stromzeiger der Zeiger zur Spulenspannung UL und zur Spannung UR = I· R abgebildet. Dem Strom läuft die Spulenspannung um π/2 voraus, UR = I · R hat die Richtung des Stromzeigers.
Abb. 4
Den Zeiger zu U1;2 erhält man durch vektorielle Addition der beiden anderen Spannungszeiger.
U02 = U0L2 + I02 · R2 ; U0L = ω· L· I0 → U02 = I02 · [ (ω· L)2 + R2 )
In gleicher Weise wird der Wechselstromwiderstand einer Spule mit der Induktivität L und dem Ohmschen Widerstand R berechnet.
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Den Zeiger zu einer Spannung an mehreren in Reihe geschalteten Elementen (Kondensatoren, Spulen, ohmschen Widerständen usw. ) erhält man durch vektorielle Addition der Spannungszeiger, die den Spannungen an den einzelnen Elementen zugeordnet sind. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Spannung an einem Element E immer auf den Anschluss bezogen ist, der nach einer vorgegebenen Richtung vor E liegt. Die Vektorsumme rotiert wie alle anderen Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Ihre senkrechte Projektion auf die Hochachse des Koordinatensystems beschreibt die augenblickliche Gesamtspannung.
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In Abb. 5 ist dies mit zwei Spannungen dargestellt. Der rote und der grüne Zeiger beschreiben die beiden Spannungen an zwei Elementen E, die in Reihe geschaltet sind. Der dunkelblaue Zeiger ist der Spannung über beiden Elementen zuzuordnen.
Abb.5
Nach „70“ und „START“ erfolgt eine entsprechende Vorführung.
3.6.2.2 Parallelschaltung
In Abb. 6 sehen wir eine Spule, die parallel zu einem Kondensator geschaltet ist.
Wie groß ist der elektrisch Strom, der unter einer Wechselspannung U = U0 · sin(ω· t) vom
Anschluss 1 zum Anschluss 2 fließt ?
Abb. 6 Abb. 7
Die Vektorsumme aus den Zeigern zu den Strömen I1 und I2 beschreibt den Gesamtstrom I.
U0L / I0L = ω · L → I0L = U0L / (ω· L)
U0C / I0C = 1/(ω · C) → I0C = U0C · ω· C
U0L= U0C = U0
Spannung an der Spule = Spannung an dem Kondensator
↓
I0 = |U0 · ω· C - U0 / (ω· L)| = U0 · | ω· C - 1 / (ω· L)|
↓
U0 / I0 = Z = 1 / | ω· C - 1 / (ω· L)|
Im Fall ω· C = 1 / (ω· L) ist der Wechselstromwiderstand Z unendlich groß.