3.3.9 Das Potenzial
Die Spannung an einem Punkt A in Bezug auf die Erde wird Potenzial φA des Punktes A genannt. Sind die Potenziale φA und φB zu zwei Punkten A und B bekannt, dann kann man nach UAB = φA - φB die Spannung UAB zwischen den Punkten A und B als Differenz der Potenziale errechnen. Zur Begründung dieser Behauptung muss daran erinnert werden, dass die Spannung zwischen zwei Punkten gleich der Arbeit W ist, welche das elektrische Feld verrichtet, wenn +1 Coulomb von einem Punkt A zum anderen Punkt B verschoben wird. Diese Arbeit ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges und nicht von seinem Verlauf abhängig. +1 Coulomb wird gedanklich in zwei Schritten von A nach B verschoben (siehe Abb.1): Zunächst wird die Ladung von A zum Erdpunkt P gebracht, wobei das elektrische Feld die Arbeit W1 verrichtet. Hiernach erfolgt der Transport von P nach B mit einer Arbeit W2 gegen das elektrische Feld. W2 gleicht der Arbeit des Feldes bei einer Verschiebung von B nach P.
W = W1 – W2
W / (1C) = UAB; W1 /(1C) = φA ; W2 /(1C) = φB
→ UAB = φA – φB
Abb. 1
Wie soll das Potenzial an irgendeinem Punkt A im freien Raum gemessen werden ?
Für eine Messung sind freie Ladungsträger am Punkt A erforderlich. Freie Ladungsträger hat man in einer Flamme. Es sind Elektronen und Ionen (geladene Atome). Zur Messung wird deshalb eine Flamme zum Punkt A gebracht. Der eine Anschluss eines Voltmeters wird in die Flamme getaucht, der andere wird geerdet.
Spannung und Feldstärke
Die Feldstärke an einem Ort kann über eine Spannungsmessung bestimmt werden. Man denke sich zwei Punkte A und B, die nahe beieinander im Abstand s auf einer elektrischen Kraftlinie liegen. Für die Feldstärke E zwischen diesen beiden Punkten gilt:
E = UAB /s = (φA – φB) / s
Erklärung:
Auf eine Ladung Q zwischen A und B wirkt die Kraft F = E · Q. Bei Verschiebung einer Ladung Q von A nach B wird vom Feld die Arbeit W = F · s verrichtet.
W = E·Q·s → W/Q = E ·s → UA;B = E · s → E = UA;B / s
Nach dieser Gleichung kann man verstehen, dass als Einheit für die Feldstärke auch V/m genommen wird.
Abb. 2
Äquipotenziallinien
Eine Äquipotenziallinie ist eine Linie, welche Punkte mit gleichem Potential verbindet. Die roten Kurven in Abb. 3 sind Äquipotenziallinien im Feld einer positiven und einer negativen Ladung Q. Die Äquipotenziallinien verlaufen senkrecht zu den Kraftlinien.
Abb. 3
Das Potenzial an der Oberfläche einer geladenen Kugel
Abb. 4
Zur Berechnung des Potenzials φK wird in Gedanken folgendermaßen vorgegangen. Eine positive, kleine Ladung q wird von der Oberfläche der geladenen Kugel zu einem weit entfernten Punkt P mit der Arbeit W1 verschoben. Von dort wird sie durch einen fast feldfreien Raum zur Erde gebracht ( W2 ≈ 0). Die Spannung der Kugeloberfläche in Bezug auf P ist gleich dem Potenzial.
φK = W1 / q
Wie groß ist W1 ?
Eine ähnliche Frage wurde in der Mechanik bei der Behandlung eines Raketenflugs behandelt.
Da hieß es: Wie groß ist die Arbeit W, wenn ein Körper der Masse m von der Erdoberfläche aus in den Weltraum verschoben wird ?
Antwort: W = G · M · m / R
G: Gravitationskonstante; M: Masse der Erde; R: Radius der Erde
Vergleicht man das Gravitationsgesetz F = G · m ·M / r2
mit dem Coulombschen Gesetz F = q·Q/(4π ·εo · r2)], dann wird offenbar:
W1 = q· Q/(4π ·εo · ro)
φK = Q/(4π ·εo · ro)