Mechanik

und

Relativitätstheorie

von Gerhard Höhne



für Schüler an Gymnasien,

die es etwas genauer wissen wollen





Vorwort

Ein Schüler findet einen Unterricht nur dann interessant, wenn er seine Fantasie anregt und er mit eigenen Gedanken den Verlauf des Unterrichts mitgestalten kann. Aus dieser Einsicht heraus entwickelte ich ein Experimentiergerät, welches die Schüler zu immer neuen, weiterführenden Versuchsvorschlägen veranlasst, wodurch ein kontinuierlicher Verlauf des Physikunterrichts begünstigt wird. Es ist ein unter dem Namen „Experimentierwippe“ bekanntes, sehr vielseitiges, robustes Messgerät zur Messung von Wegen, Kräften und Drehmomenten. Seine Funktionsweise ist leicht verständlich. In seiner Handhabung ist es so einfach, dass es sich auch als Praktikumsgerät für Schüler gut eignet. Seine Vielseitigkeit macht es möglich, dass außer dem Gravitationsgesetz alle wichtigen Gesetze der Mechanik experimentell erarbeitet werden können. Als besonders positives Merkmal ist hervorzuheben, dass es die Schüler zu Experimenten anregt, die sehr schnell zum Impulssatz führen.

Zum Verständnis dieser Darstellung der Mechanik müssen die hierin beschriebenen Versuche mit der Experimentierwippe nicht erlebt werden, man kann sie sich anhand der Beschreibungen gut vorstellen.

Der Impulssatz sollte entgegen den in der Schulliteratur üblichen Gepflogenheiten der Einführung des Kraftmaßes vorangehen, da die Definition dieser Größe nach F = d(m·v)/dt erst im Rückblick auf dieses Gesetz sinnvoll erscheint. Nur mit dem Impulssatz kann überzeugend dargelegt werden, dass Δ(m·v) ein passendes Maß für eine äußere Einwirkung ist, außerdem spricht für die hier gewünschte Stellung des Impulssatzes die Tatsache, dass nach Einführung des Kraftmaßes mit ihm sowohl das Wechselwirkungsgesetz wie das Additionsgesetz der Kräfte deduktiv hergeleitet werden kann. Die vorgeschlagene Folge entspricht dem axiomatischen Aufbau Newtons. Lex prima ist unter Berücksichtigung der ihm vorangestellten Definitionen über die Größe der Bewegung als Impulssatz aufzufassen (siehe Lehrbuch der Theoretischen Mechanik von Sommerfeld).

Es muss darauf aufmerksam gemacht werden, dass jeder Gegenstand ein System aus vielen Atomen darstellt. Bei Ungültigkeit des Impulssatzes wären an einem solchen Gegenstand auch ohne äußere Einwirkungen Impulsschwankungen zu erkennen (Impuls des Schwerpunkts = Summe aller Einzelimpulse), denen fälschlicherweise eine von außen wirkende Kraft zugeordnet würde.

In vielen Schulbüchern wird die Kraft in einer Art eingeführt, die kritische Schüler nicht zufrieden stellen kann. Meistens geschieht dies in folgender Weise. Da wird zunächst so getan, als ob die Kraft schon definiert sei. Die Beziehung F ~ m · a wird experimentell nachgewiesen und anschließend die Krafteinheit so gewählt, dass F = m·a geschrieben werden kann. Ebenso fragwürdig ist dann auch die Einführung des Wechselwirkungsgesetzes. Zu seiner Begründung wird auf die Impulserhaltung in ganz speziellen Fällen verwiesen, in denen gleich schwere, anfangs ruhende Körper einander anziehen oder abstoßen. Diesen Ausführungen folgt dann noch ein Zirkelschluss; mit dem so gewonnenen Wechselwirkungsgesetz wird der Impulssatz hergeleitet. Manchmal wird das Wechselwirkungsgesetz mit gegeneinander wirkenden Federkraftmessern demonstriert. Da der Schüler davon ausgeht, dass derartige Kraftmesser statisch mit Gewichten kalibriert werden, dieses Kalibrierverfahren jedoch nicht ohne das Wechselwirkungsgesetz und das Additionsgesetz der Kräfte begründet werden kann, erscheint diese Demonstration sehr zweifelhaft. Wird der Impulssatz nicht scheinbar deduktiv, sondern stattdessen experimentell erarbeitet, dann ist seine Behandlung schon in den ersten Unterrichtsstunden über Mechanik möglich, und der Lehrer kann auf sehr interessante Anwendungen zu diesem wichtigen Satz eingehen. Ein besonders eindrucksvolles Beispiel ist die Aufnahme eines Ballistokardiogramms. Derartige Beispiele sind zur Auflockerung des etwas trockenen Stoffes unbedingt notwendig.

Das Interesse der Schüler an einer theoretischen Untersuchung von Bewegungen nimmt zu, wenn sie erkennen, dass sie sogar sehr kompliziert erscheinende Vorgänge mit Hilfe eines Computers selbständig berechnen können. Aus diesem Grunde wird in diesem Buch immer wieder gezeigt, wie mit bekannten Tabellenkalkulationsprogrammen (Microsoft-Office, Open-Office) Bewegungen untersucht werden können, deren mathematische Behandlung in der Schule ohne Computer nicht möglich ist (Bewegung von Planeten usw.). Hierzu werden Adressen angegeben, unter denen die dazu passenden, mit Open-Office aufgestellten Tabellen aus dem Internet geholt werden können.



Der Relativitätstheorie wird entgegen den Gepflogenheiten im Schulunterricht ein großes Gewicht gegeben, damit sein heuristischer Wert den Schülern bewusst wird. In der hier vorliegenden Abhandlung werden die Beziehungen m=m0/(1–v2/c2) und ΔE = Δm· c2 an den Anfang der Relativitätstheorie gesetzt. Das Relativitätsprinzip und der Schwerpunktsatz ermöglichen eine für Schüler der 10. und 11. Klasse leicht verständliche Herleitung. Einer solchen Einführung bringen die Schüler viel Interesse entgegen, weil ihnen die genannten Gesetze als bedeutend bekannt sind. Viel Aufmerksamkeit ist dem Zwillingsparadoxon gewidmet. Es wird nicht nur der ihm zugrunde liegende Denkfehler erklärt, sondern darüber hinaus ein Einblick in die Allgemeine Relativitätstheorie gegeben.

Wie gelangt der Mensch zu Fragen ? Wie findet er passende Antworten ? Warum glaubt er ?

Um diese Fragen geht es im 4. Kapitel dieses Buches. Sie sollten für Leute von Interesse sein, die sich immer wieder um neue Erkenntnisse und um Klärung unverständlicher Sachverhalte bemühen und es dabei mit Aufgaben zu tun haben, zu deren Lösung es keine genauen Rezepte gibt. Es gibt keine Wunderrezepte zur Lösung schwieriger Aufgaben, man sollte schon damit zufrieden sein und es als sehr hilfreich erkennen, wenn falsche Vorstellungen bezüglich geistiger Arbeit durch realistische ersetzt werden.

Diese hier vorliegende Darstellung der Mechanik und Relativitätstheorie ist für Schüler geschrieben, denen der Physikunterricht am G8 nicht gründlich genug erscheint, die möglicherweise an ein Physikstudium oder ein ingenieurwissenschaftliches Studium im Anschluss an ihre schulische Laufbahn denken.



Gerhard Höhne





Inhaltsverzeichnis



1. Mechanik

1.1 Was versteht man unter Mechanik



1.2 Die Experimentierwippe



1.3 Grundbegriffe der Mechanik

1.3.1 Gleichförmige Bewegung

1.3.2 Der Trägheitssatz

1.3.3 Die Masse

1.3.4 Schwerpunkt,Schwerpunktsatz, Impuls und Impulssatz

1.3.5 Vektoren

1.3.6 Definition der Kraft und des Kraftmaßes

1.3.7 Momentangeschwindigkeit

1.3.8 Der Freie Fall

1.3.9 Bewegung eine Läufers( Momentanbeschleunigung)

1.3.10 Über den Umgang mit Einheiten


1.4 Bewegung unter einer Kraft mit konstantem Betrag

1.4.1 Geradlinige Bewegung

1.4.2.Bewegung auf einer Kreisbahn



1.5 Gesetze zur Kraft

1.5.1 Das Wechselwirkungsgesetz

1.5.2 Gesetz zur Addition der Kräfte



1.6 Über Messungen von Kräften und damit gewonnene Einsichten

1.6.1 Messmethoden

1.6.1.1 Kraftmessung mit einer Schraubenfeder

1.6.1.2 Kraftmessung mit der Experimentierwippe (Drehmoment)

1.6.1.3 Kraftmessung mit einem Konstantandraht

1.6.2 Messung der Zentripetalkraft

1.6.3 Messung von Reibungskräften

1.6.3.1 Gleit- und Haftreibung

1.6.3.2 Reibungskräfte in einer Flüssigkeit (e-Funktion)

1.6.3.3 Reibungskraft der Luft

1.6.4 Messung der Auftriebskraft einer Flüssigkeit

1.6.5 Bestimmung eines Lungenvolumens durch Kraftmessung an der ausströmenden Luft

1.6.6 Messung der Gravitationskraft

1.6.7 Ein Kraftmesser als Beschleunigungsmesser



1.7 Bewegungen mit Reibungskräften

1.7.1 Schiefer Wurf unter Berücksichtigung der Luftreibung

1.7.2 Fallbewegung in einer Flüssigkeit



1.8 Schwingungen

1.8.1 Die Harmonische Schwingung

1.8.2 Gedämpfte Schwingung

1.8.3 Das Fadenpendel

1.8.4 Die Schwebung

1.8.5 Erzwungene Schwingung

1.8.6 Anharmonische Schwingung



1.9 Arbeit, Leistung, Energie

1.9.1 Arbeit, Leistung

1.9.2 Energie (Perpetuum-Mobile)

1.9.3 Energiearten

1.9.4 Satz von der Erhaltung der Energie

1.9.5 Anwendungsbeispiele zum Energieerhaltungssatz



1.10 Über die Bewegung von Planeten

1.10.1 Berechnung einer Planetenbahn

1.10.2 Die Keplerschen Gesetze.

1.10.3 Die Flächengeschwindigkeit (Kreuzprodukt )

1.10.4 Die Masse der Sonne

1.10.5 Newtons Herleitung des Gravitationsgesetzes



1.11 Trägheitskräfte

1.11.1 Was versteht man unter einer Trägheitskraft

1.11.2 Die Zentrifugalkraft

1.11.3 Die Corioliskraft

1.11.3.1 Der Coriolis-Durchflussmesser

1.11.3.2 Pendel mit rotierender Masse

1.11.4 Berechnung einer Bewegung in einem rotierenden System unter Berücksichtigung der Zentrifugal- und Corioliskraft

1.11.5 Das Foucaultpendel



1.12 Mechanik rotierender Körper

1.12.1 Der Drehimpuls und Drehimpulssatz

1.12.2 Das Drehmoment

1.12.3 Winkelbeschleunigung und Drehmoment

1.12.4 Drehschwingungen

1.12.5 Über das Schaukeln

1.12.6 Kreisel und Kreiselkompass



1.13 Wellen

1.13.1 Quer- und Längswellen, Wellengeschwindigkeit

1.13.2 Die periodische, fortschreitende Welle

1.13.3 Die stehende Welle

1.13.4 Interferenz von Kreiswellen

1.13.5 Über die Wellennatur des Lichts



2. Spezielle Relativitätstheorie

2.1 Das Relativitätsprinzip

2.2 Die Änderung der Masse infolge Bewegung

2.3 Masse und Energie

2.4 Die Zeitdilatation

2.5 Die Längenkontraktion

2.6 Über die Synchronisation von Uhren

2.7 Die Lorentztransformationen

2.8 Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten

2.9 Transformation der Masse des Impulses und der Kraft

2.10 Satz von der Erhaltung der Masse

2.11 Die Plancksche Beziehung E= h·f

2.12 Das Brechungsgesetz der Optik

2.13 Die Lichtinterferenz hinter einem Doppelspalt

2.14 Das Minkowski – Diagramm

2.15 Das Zwillingsparadoxon

2.16 Historisches zur Entwicklung der Relativitätstheorie



3. Heuristik

3.1 Vorwort

3.2 Der Weg zur Frage

3.3 Der Weg zur Antwort

3.4 Prüfung und Beweis einer Vermutung

3.5 Über den Glauben



4. Lösungen zu den Aufgaben