Ein Metalldraht als Messelement zur Messung von Kräften und Temperaturen. Eine Abhandlung über die Änderung des elektrischen Widerstands eines Drahtes bei Dehnung, Biegung und Erwärmung

Gerhard Höhne

Wie ändert sich der Widerstand eines Drahtes bei Dehnung , bei Biegung und bei Erwärmung ?  Dies ist ein Frage, die Schüler nach Einführung des elektrischen  Widerstands sehr interessiert, besonders dann , wenn sie darauf aufmerksam gemacht werden , dass solche Änderungen möglicherweise zur elektrischen Messungen von Kräften und Temperaturen genutzt werden können. 

Auf der Suche nach einer Technik zum  Nachweis der Widerstandsänderungen wird die in der Messtechnik sehr wichtige Wheatstonebrücke entwickelt, die in diesem Fall von den Schülern als  beeindruckende Erfindung gesehen wird. Mit ihr kann problemlos gezeigt werden, dass der elektrische Widerstand eines Drahtes bei Erwärmung und Dehnung  zunimmt und bei Biegung abnimmt und dass ein Konstantandraht als Messelement zur Messung einer Kraft in der Größenordnung von 10-3 N geeignet ist. Über die Verminderung des Widerstands bei einer Biegung wundern sich die Schüler meistens sehr, denn sie erwarten, dass die Biegung auch zu einer Vergrößerung des Widerstands führt.

Interessierte Schüler suchen eine Erklärung für die Widerstandänderung bei Dehnung und Biegung, manchmal wünschen sie sogar eine mathematische Beschreibung. Unter diesen Bedingungen können wichtige Themen  behandelt werden, die unter anderen Umständen als etwas langweilig gelten. Auf die Reihen und Parallelschaltung von Widerständen und die Abhängigkeit des Widerstands von der Länge und dem Querschnitt eines Drahtes – spezifischer Widerstand- wird  eingegangen.

 

1. Untersuchung der Widerstandsänderung bei Erwärmung, Dehnung und Biegung 

Die Widerstandsänderung bei Dehnung und Biegung kann leicht mit dem in Abb. 1 sichtbaren Gerät untersucht werden. Auf einer Leiterplatte ist eine Wheatstonebrücke aus vier 15 Ohm-Widerständen A, B , C und D. D ist ein 90 cm langer als Messelement dienender Konstantandraht  (Durchmesser 0,2 mm), der zwischen zwei Polklemmen frei durchhängt. Die Brücke wird an eine 6-V-Spannungsquelle angeschlossen. Neben dieser Messbrücke trägt die Leiterplatte noch einen Verstärker für das Messsignal.



Einspannen eines neuen Drahts und Einstellung des Drahtmesswandlers


Abb. 1




Anleitung zum Selbstbau

Berechnung des Wandlers

Wenn  D belastet wird, dann zeigt das angeschlossene Messgerät von  f nach e fließende Elektronen  an. Eine Erklärung hierfür wird sofort gefunden. Die Leiter A, B , C und D, die anfangs übereinstimmende Widerstände hatten, werden nun nicht mehr von gleich starken Strömen durchflossen, denn der Draht D hat nun einen höheren Widerstand als die anderen Leiter, da er bei Belastung  länger und dünner wird. Zunächst verteilen sich die vom –Pol kommenden Elektronen je zur Hälfte auf B und C, dann aber zieht ein Teil der durch C fließenden Elektronen  den Leiter A wegen seines geringeren Widerstandes dem Draht D vor und nimmt den Weg über das Messgerät.

Sehr überrascht sind die Schüler, wenn sie sehen, dass bei einer Biegung des Drahtes D ohne gleichzeitigen Zug vom Messgerät eine Widerstandsabnahme angezeigt wird, denn in diesem Fall fließen Elektronen nicht von f nach e, sondern von e nach f. Dieser meistens unerwartete Effekt kann anhand von Abb. 2 plausibel gemacht werden.

Abb. 2

In Abb. 2 ist ein Stück eines gekrümmten Leiters angedeutet, dessen rechte und linke Hälfte wie zwei parallel geschaltete Leiter behandelt werden können. Bei der Biegung wird der Widerstand der linken Hälfte um DR größer und der von der rechten um DR kleiner. Nun gilt: Zwei parallel geschaltete Widerstände bestimmter Widerstandssumme haben dann den größten Gesamtwiderstand Rg, wenn die Einzelwiderstände gleich sind. So ist der Gesamtwiderstand zweier parallel geschalteter 15Ohm-Widerstände größer als der Widerstand, den ein 10 Ohm-Leiter mit einem 20Ohm -Leiter bildet.

Eine Widerstandsänderung  ist nicht festzustellen, wenn  z.B. D um etwa 1o C erwärmt wird. Anders sieht es aus, wenn statt des Konstantandrahts D ein Kupfer- oder Eisendraht eingespannt wird. Dann führt schon die Strahlungswärme der Hand zu einem starken Ausschlag des Messgeräts. Es wird deutlich, dass der Widerstand von Eisen und Kupfer bei Erwärmung zunimmt.

Nimmt man für D eine Kombination aus Manganin- und Konstantandrähten (siehe Abb. 3), dann kann auch noch der thermoelektrische Effekt vorgeführt werden. Schon die Berührung einer gelöteten Verbindung Manganin- Konstantan mit der Hand führt zu starken Ausschlägen des Messgeräts. Anschließend klingt der Zeigerausschlag in einer gegenüber Temperaturschwankungen abgeschirmten Umgebung exponentiell ab (siehe Abb. 4). Anhand dieses Vorgangs kann der Begriff Halbwertszeit eingeführt werden.

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Abb. 3                                       Abb. 4



Dieser Drahtmesswandler wird häufig im Rahmen von Schülerfacharbeiten eingesetzt



2. Experimente mit dem Drahtmesswandler     

Der Drahtmesswandler kann zur elektrischen Messung von Kräften und Wegen genutzt werden.



2.1  Einführungsexperiment: Addition von Kräften

Die Vorstellung eines Konstantandrahtes als Messwandler zur elektrischen Messung kleiner Kräfte macht auf Schüler großen Eindruck. Sie sind dementsprechend aufmerksam, wenn es darum geht, eine noch höhere Empfindlichkeit zu erzielen. Für die Jahrgangsstufe 10 ist der Aufbau der in Abb. 5 skizzierten Anordnung zu empfehlen. Der Draht D wird durch einen Stab aus Trinkhalmen und einem Gewicht unter der Stabmitte zu einer Raute geformt. Hierbei fällt auf, dass die Kraft auf das Drahtstück der Länge L um den Faktor L/h größer ist als die halbe Gewichtskraft (siehe Abb. 6).  Nun ist eine quantitative Untersuchung des Sachverhalts angebracht, die zum Additionsgesetz der Kräfte führt.

Es ist darauf zu achten, dass der Draht schon vor einer Kraftmessung straff gespannt ist. Dies ist dann der Fall, wenn die zu messende Kraft über ein straffendes Gewicht auf den Draht wirkt !

Abb. 5

 

Abb. 6

 

2.2 Einführungsexperiment zum Hebelgesetz

In Abb. 7 ist eine weitere Anordnung skizziert, mit der die Empfindlichkeit des Meßsystems gesteigert werden kann. Das damit angedeutete Experiment eignet sich gut zur Vorbereitung auf die Behandlung des Hebelgesetzes. An der Drahtschlaufe ist ein Trinkhalm (waagrecht) als Hebel befestigt, als dessen Drehachse einer der beiden Drähte angesehen werden kann. Der Halm darf nicht mit seiner Mitte auf der Drahtschlaufe liegen, er muss so angebracht sein, dass er aus  beiden Drahtabschnitten stumpfe Winkel formt, von denen der eine nach unten und der andere nach oben geöffnet ist. In Abb. 8 ist ein Diagramm zu sehen, welches bei Belastung des Halmes mit 20 mg geschrieben wurde. Ein Diagramm wie das in der Abb.9 entsteht beim Schwingen des Halmes.

 

Abb. 7

Abb. 8

Abb. 9

 



2.3 Registrierung von Federschwingungen

 

   Abb. 10                                                                 Abb. 11



Abb. 10 zeigt eine Anordnung zur Aufzeichnung von Schwingungsdiagrammen. An dem Draht D hängt eine Schraubenfeder mit einem 100-g-Gewicht. Die Feder übt eine der Dehnung proportionale Kraft auf den Draht D aus. Das der Schwingung entsprechende Signal wird von einem t-y-Schreiber oder einem Computer mit AD-Wandler aufgezeichnet (Abb. 11).

Eine ungedämpfte Schwingung ist mit einer Rückkopplung möglich. Ein Magnet kann an der skizzierten Schraubenfeder  in einer an den Ausgang des Drahtmesswandlers angeschlossenen Transformatorspule (10000 Windungen) mit konstanter Amplitude schwingen.



3.4 Demonstration des Schwerpunktsatzes (Impulssatzes)

Entsprechend Abb. 12  trägt der Draht D das Ende einer Aluminiumschiene, deren anderes Ende drehbar gelagert ist. Eine über die Schiene rollende Kugel K verursacht eine Belastung des Drahtes D, die proportional zu deren Abstand vom  linken Ende der Schiene zunimmt.  Wenn die Schiene waagerecht eingestellt ist, dann zeichnet das Registriergerät zu einer rollenden Kugel ein lineares Bewegungsdiagramm. Ein lineares Bewegungsdiagramm entsteht auch dann, wenn man zwei auf der Schiene liegende Glaskugeln mit einem kleinen Becherglas so anstößt, dass sie zusammenprallen. Bei zwei Kugeln ist der gemeinsame Schwerpunkt der Kugeln für die Belastung des Drahtes maßgebend. Die Linearität zeigt an, dass sich der Schwerpunkt ohne äußere Einwirkung trotz des Stoßes gleichförmig bewegt. Damit ist der Schwerpunktssatz nachgewiesen, aus dem der Impulssatz gefolgert werden kann.

Mit Eisenkugeln erhält man merkbare Abweichungen vom Idealfall, da sich die Kräfte nicht ausgleichen, welche von der Schiene zur Änderung der Kugeldrehimpulse ausgeübt werden. Ursache hierfür ist  die Reibung zwischen den Kugeloberflächen während des Stoßes. 

3.5 Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Abb. 12

Das Diagramm auf dem Computerbildschirm (siehe Abb. 12)  wurde aufgezeichnet, als eine Kugel die schräg eingestellte Aluminiumschiene hinabrollte. Der linke Teil des Diagramms rührt von einem Stoß her, den die Kugel anfänglich entgegen der Hangabtriebskraft erfuhr. Dieser Stoß wurde erteilt, damit am Diagramm genau erkennbar ist, wann und wo die Abwärtsbewegung beginnt.



3.6 Messung einer Zentripetalkraft

Abb. 13                               Abb. 14

Der Draht D mit einem angehängten Gewicht wird zunächst nach links soweit umgelenkt, bis das Gewicht einen Punkt P in Höhe der Drahtaufhängung erreicht. Anschließend wird das Gewicht (100 g) freigegeben und  durchläuft die in der Abb.13 angedeutete Kreisbahn mit dem Radius r. Während dieses Vorgangs wird das in Abb. 14 sichtbare Diagramm aufgezeichnet, welches zunächst eine Entlastung um m ·g und dann eine Belastung um 3·m·g anzeigt. Mit 3·m·g wirkt der Körper am tiefsten Punkt seiner Bahn. 2·m·g ist auf die Zentripetalkraft zurückzuführen – Gegenkraft zur Zentripetalkraft-.

Wie verhält  sich die Zentripetalkraft F = 2· m ·g zu der Geschwindigkeit am tiefsten Bahnpunkt ?

Es ist bekannt, dass nur die durchlaufene Höhendifferenz für die Geschwindigkeit des Gewichts maßgebend ist. Es ist gleichgültig, ob der Körper um r fällt oder diese Höhenänderung auf einer Kreisbahn erfährt.

Beim Fall um r gilt: r = g/2·t2 , v = g · t   →    t = v/g       

→    r = g/2·(v/g)2    →     v2 = 2 · g · r   

v2 = 2 · g · r  ; F = 2×m×g   →   F/v2 = 2 · m · g / (2 · g · r) = m/ r    →   F = m · v2 / r  

→   Zentripetalbeschleunigung a = F/m  = v2/r

3.7 Dehnung einer Holzlatte

Abb. 15

Am rechten Ende einer Holzlatte (gehobelte Dachlatte) ist der Drahtmesswandler angeklemmt. Der Konstantandraht verläuft straff zu einem Plastikstab am linken Ende der Latte. Ziehen zwei Personen mit Schnüren an den Enden der Latte, dann wird deutlich eine Dehnung in der Größenordnung von einigen Mikrometern angezeigt.

Dieser Versuch kann zur Erläuterung der Wechselwirkungsgesetzes dienen - wirkt eine Zugkraft auf einen Balken, dann wird dieser wie eine Spiralfeder gedehnt und übt eine Gegenkraft aus.



3.8 Beschleunigung des Körperschwerpunkts beim Kniebeugen

In Abb. 16 ist eine Frau zu sehen, die auf einem 3 cm dicken Brett in die Hockstellung geht. Mit einem Drahtmesswandler auf der Unterseite des Bretts ( siehe Abb. 18) wird die nicht sichtbare Durchbiegung des Bretts während dieses Vorgangs gemessen. Diese Durchbiegung ist der auf das Brett wirkenden Kraft F proportional.

F - m× g = m × ®  F = m×g + m×

Zur Registrierung der Kraft dient ein Computer zusammen mit einem AD-Wandler. Zur  Kalibrierung nimmt man die Gewichtskraft FG des Körpers, der jedoch nicht m× g, sondern FG /m = g  zugeordnet wird. Demzufolge  ist  F/m = g + a die Messgröße dieser Anordnung.

In der Abb. 17 ist  das zur dargestellten Bewegung gehörende Beschleunigungsdiagramm zu sehen. Durch Integration des a-t-Diagramms wurde das rote v-t-Diagramm gewonnen.



          

Abb. 16                                                            Abb. 17



Abb. 18

 

3.9 Messung der Kraftflussdichte B des Erdmagnetfeldes

In der Abb. 19 sehen wir eine Wicklung aus 50 Windungen isolierten Kupferdrahts an der in Ost-West-Richtung aufgespannten Drahtschlaufe. Durch diese Wicklung wurde ein 5 A-Strom  wenige Sekunden lang hindurchgeschickt, wobei das Erdmagnetfeld ein Drehmoment ausübte. Die rote Strecke im Diagramm der Abb. 20 beschreibt den Abfall dieses Momentes bei einer Unterbrechung des Stroms. Die Spannungsspitze bei dieser Unterbrechung ist eine Induktionsspannung in der Drahtschlaufe. Die ansteigende Strecke zeigt eine Verschiebung des Schwingungsmittelpunktes infolge einer Erwärmung der Wicklung nach dem Einschalten des Stroms  an.

 

Abb. 19



Abb. 20