Berechnung des  Drahtmesswandlers

Folgende Fragen sind  zu beantworten:



Welche Längenänderung des Drahtes wird mit einer Spannungsänderung um 1 Volt am Ausgang des Verstärkers angezeigt ?

Welche Kraft ist dieser Längenänderung zuzuordnen ?

 

Es wird zunächst die Änderung des elektrischen Drahtwiderstands bei einer Dehnung untersucht, dann die zu dieser Widerstandsänderung gehörende Ausgangsspannung UA des Messgeräts bestimmt und zuletzt  die dehnende Kraft ermittelt.

 

1. Änderung  ∆R des elektrischen Widerstands R bei einer Dehnung eines Drahtes der Länge L um ∆L

R ~ L/ A   →   R ·A/ L = Konstante = spezifischer Widerstand ρ

 →   R = L/A ·ρ

A · L = konstantes Volumen V    →    A = V / L

→    R = L2 · ρ / V

∆R = [(L + ∆L)2 – L2 ] · ρ / V     →      ∆R = (2 · L · ∆L + ∆L2) · ρ / V

∆R / R =  (2 · L · ∆L + ∆L2) / L2  = ∆L · (2 · L  + ∆L) / L2

∆L ist vernachlässigbar klein im Vergleich mit 2 · L.

→    ∆R / R  ≈  2 · ∆L/L

Die relative Widerstandsänderung ist doppelt so groß wie die relative Längenänderung ! 

 

2. Berechnung Längenänderung ∆L bei einer Ausgangsspannung  U A = 1 V.

 

Abb. 1

 

Wird der Widerstand des Drahtes um ∆R vergrößert, dann sorgt der Operationsverstärker dafür, dass  die Spannungen über  R und  R+∆R gleich bleiben. Er bewirkt, dass  durch R ein Strom fließt, der um ∆I größer ist als der Strom durch den Draht. Für die Ausgangsspannung UA gilt: 

UA = RV · ∆I .

(R+∆R) · I = R · (I+ ∆I)   →    ∆R · I = R ·  ∆I   →    ∆I = (∆R/R) · I

∆R/R = 2 · ∆L/L

↓

∆I = 2 ·(∆L/L) · I    →   ∆L/L = ∆I / (2 · I)

 UA = RV · ∆I

↓

∆L/L = UA / (2 · I · RV)

 

Da die Stromstärke I’ im Falle ∆R =0  wegen der Kleinheit von ∆R kaum von der Stromstärke I im Falle ∆R > 0 abweicht, können wir in die letzte Gleichung statt I die Stromstärke I’ einsetzen (I ≈ I’).

I ≈ I’ = UB / (2 · R),   UB ist die Spannung über der Wheatstonebrücke.

UB = U0 ·RB / (RB + 2 · R0) ,  RB ist der Gesamtwiderstand der Brücke.

 1/ RB = 1/(2 ·R1) + 1 /(2 · R )   →   RB  =21, 81 Ω,    UB =2,11 V,   I ≈ UB / (2 ·R)  = 0.07 A

∆L/L = UA / (2 · I · RV) = 1 V / (0,14 A · 200000 Ω) = 36 ·10-6

L = 0,45 m     →      ∆L ≈ 16, 2 μ

 

3. Berechnung der Kraft im Falle UA = 1 V

F ist die Kraft auf die Drahtschlinge und F’ = F/2 die auf einen einzelnen Draht.

F’ ~ ∆L · A / L    →   F’ · L / (A · ∆L) = Konstante = Elatizitätsmodul ε

→       F’ = ε ·∆L/L · A 

Es liegt ein Draht mit dem Durchmesser 0,2 mm vor.

Elastizitätsmodul ε von Konstantan = 180000 N/mm2

F’ = 180000 N/mm2 · 36 ·10-6 · π · 0,01 mm2 =0,2 N

F= 0, 4 N