1.7. Bewegungen mit Reibungskräften

1.7.1 Schiefer Wurf unter Berücksichtigung der Luftreibung

Unter 1.6.3.3 wurde ein Gesetz zur Reibungskraft in Luft angegeben. Es muss berücksichtigt werden, wenn es darum geht, die Bahn einer Kanonenkugel zu bestimmen. Ein Tabellenkalkulationsprogramm macht dies möglich. Die passenden Kräfte müssen in der im Kapitel 1.4.2 aufgestellten Tabelle in den ersten beiden Spalten eingetragen werden.

Welche Kraft wirkt auf die Kugel ?

Die der Geschwindigkeit entgegen gerichtete Reibungskraft FR ist v2 proportional.

FR/v2  =  k;  FR =  k·v2 ( |v| = v ; |FR| = FR )

    - FR1/ |FR| = v1 /|v| → FR1 = - (v1 /|v|) · |FR|

    - FR2/ |FR| = v2 /|v| → FR2 = - (v2 /|v|) · |FR|

    |FR| = k·v2

    FR1 = - v1 ·v · k ; FR2 = - v2 ·v · k

    Neben der Reibungskraft wirkt noch die Gewichtskraft m·g.

Abb. 1.7.1



F1 = - v1 ·v · k und F2 = - g· m - v2 · v · k sind die x und y- Koordinaten der auf die Kugel wirkenden Kraft.

Die in 1.4.2 aufgestellte Tabelle kann nun zur Behandlung der Kugelbewegung hergerichtet werden. In die dritte Zeile schreiben wir unter A „= -E2*G2*$N$2“ (F1 = - v1 · v · k steht in der 1. Zeile) und unter B=  -$K$2*$M$2-F2*G2*$N$2“ (F2 = - g · m - v2 · v · k steht in der 1. Zeile). $K$2, $M$2 und $N$2 stehen für g, m und k. In der zweiten Zeile werden unter K, M und N für g, m und k die Werte 9,81, 1 und 0,1 eingesetzt.

g = 9,81 m/s2 ; m = 1 kg ; k = 0,1 kg/ m

Anschließend wird der unter A und B liegende Abschnitte der dritten Zeile in 2000 darunter liegende Zeilen kopiert und schließlich das in der Abb. 1.7.2 sichtbare Bewegungsdiagramm erstellt. Es ist zu sehen, dass die Bahn deutlich von einem Parabelbogen abweicht.

Abb. 1. 7.2 : Tabelle 4





1.7.2 Fallbewegung in einer Flüssigkeit

Wir stellen uns eine in Öl fallende Eisenkugel vor. Ihr ist ein Koordinatensystem mit einer nach unten gerichteten x-Achse zugeordnet, an deren 0-Punkt sie zum Zeitpunkt t = 0 zum Fall freigegeben wurde. Der Gewichtskraft m · g wirkt eine der Geschwindigkeit v proportionale Reibungskraft FR = k ·v entgegen. v wächst solange bis die Gewichtskraft gleich der Reibungskraft ist.

Wie ändert sich v mit der Zeit ?

Für die Kraft F gilt: F = m· g – k · v

F1 = m· g – k · v1 ; F1 = m· a1 → a1 = g – (k/m) · v1

Wir tragen F1 in die zum schiefen Wurf mit Reibung angelegte Tabelle ein. In die 3.Zeile der Spalte A schreiben wir = $M$2*$K$2-$N$2*E2“ und kopieren diese Zeile in 2000 darunter liegende Zeilen. Als Anfangswert von v1 wird der Wert 0 eingetragen. Für m und k werden 1 (1 kg) und 3 (3 kg/s) eingesetzt. Mit den unter H und I stehenden Zeit- und Wegwerten wird ein x-t-Diagramm (x steht für den Weg) erstellt (siehe Abb. 1.7.3).

Abb. 1.7.3: Tabelle 5      Abb. 1.7.4: Tabelle 6

Zum Verständnis des Diagrammverlaufs ist ein v-t-Diagramm hilfreich. Zur seiner Darstellung wird zunächst so vorgegangen wie beim Anlegen eines x-t-Diagramms.

In dem nach „Einfügen-Diagramm“ erscheinenden Auswahlfeld wird nicht nur eine Entscheidung für „XY“, und „Nur Linien“ getroffen, sondern es wird zusätzlich noch „Datenreihen“ angeklickt, damit die Datenreihe der Wege gegen die der Geschwindigkeiten ausgetauscht werden kann. Die Datenreihe „ Y-Werte“ wird zur Bearbeitung ausgewählt. Der Buchstabe „I“ (I ist die Spalte für die Wege) wird durch „E“ (E ist die Spalte für die Geschwindigkeiten) ersetzt. Nach „Fertig stellen“ erscheint das Diagramm in der Abb. 1.7.4.

Nach 2 s ist die Endgeschwindigkeit vmax erreicht. Die Reibungskraft k· v1 ist dann gleich der Gewichtskraft m·g. Das x-t-Diagramm nimmt einen linearen Verlauf an.

k· vmax = m·g   →    vmax = m·g/k = 1kg ·9,81(m/s2) / 3 (kg/s ) = 3,27 m/s

Die Differenz zwischen vmax und v1 bei Zeiten < 2s beginnt mit m·g / k (t = 0) und hat bei 2 s einen Wert nahe 0. Ein Term der Form (m·g/k) · e - b· t kommt als Differenz in Frage.

m·g/k – v1 = (m·g/k) · e- b· t    →   v1 = (m·g/k) ·(1- e - b· t )

Wenn der für v1 aufgestellte Term gültig ist, dann muss es möglich sein, ein b zu finden , so dass mit v1 = (m·g/k)·(1- e - b· t ) und dem daraus gebildeten a1 = dv1/dt die Gleichung a1 = g – (k/m) · v1 erfüllt wird. Bei Bildung des Differentialquotienten muss nur der zeitabhängige Term -(m·g/k)·e - b · t berücksichtigt werden. Nach den Ausführungen im Kapitel 1.6.3.2 gilt:

dv1/dt = a1 = b· (m·g/k)· e- b· t

Die Terme für v1 und a1 werden in die Gleichung a1 = g – (k/m) · v1 eingesetzt.

b· (m·g/k)· e-b· t = g - (k/m) ·(m·g/k) ·(1- e-b· t ) → b· (m/k)· e-b· t = e-b· t

b = k/m → v1 = (m·g/k) ·(1- e- (k / m) · t )

Kann mit dieser Gleichung der Fallweg x in Abhängigkeit von t bestimmt werden ?

v1 = dx/dt    →     dx/dt = (m·g/k) · (1- e- (k /m) · t )

Welcher Term liefert diesen Differentialquotienten ?

x = (m·g/k) ·(t +m/k· e- (k/m) · t) ist ein solcher Term.

x = (m·g/k) ·(t +m/k· e- (k/m) · t) passt nicht ganz zur Fallbewegung, denn für t = 0 liefert dieser Term den Wert x = m2 ·g/k2. Die Bewegung beginnt aber mit x = 0. Deshalb muss noch m2 ·g/k2 subtrahiert werden.

x = (m·g/k) · (t+m/k· e- (k /m) · t) - m2 ·g/k2    →     x = (m·g/k) ·t - (m2·g/k2 ) · (1- e- (k /m)· t)