1.6. Über Messung von Kräften und damit gewonnene Einsichten

Wenn wir die Anfangsgeschwindigkeit eines Körpers und die auf ihn wirkenden Kräfte kennen, dann ist eine genaue Voraussage über die Bewegung seines Schwerpunkts möglich. Es ist daher angebracht, die Kräfte zu untersuchen, die für interessante Bewegungen maßgebend sind. In Frage kommen Reibungs-, Verformungs- und nicht durch materiellen Kontakt bedingte Anziehungs- bzw. Abstoßungskräfte. Als Beispiel einer Verformungskraft ist die Kraft einer gedehnten Schraubenfeder zu nennen. Als Anziehungskraft ist uns die Gewichtskraft m·g eines Gegenstandes bekannt.

1.6.1 Messmethoden

1.6.1.1 Kraftmessung mit einer Schraubenfeder

Bisher wurden Kräfte direkt nach F = Δ(m · v)/Δt ermittelt. Eine Kraft F kann aber auch bestimmt werden, indem man sie hinsichtlich ihrer Wirkung mit bekannten Kräften vergleicht. Zum Vergleich bieten sich die Gewichtskräfte von Gegenständen an, da sie nach F = m · g leicht berechenbar sind. Die Messung einer Kraft Fu durch Vergleich mit einer Gewichtskraft kann wie folgt geschehen:

1. Man lässt Fu auf eine Schraubenfeder wirken und misst die von ihr verursachte Dehnung s.

2. Es wird die Masse m des Körpers K bestimmt, unter dessen Gewicht die Feder die gleiche Dehnung s erfährt.

Die Kraft Fu wird der Gewichtskraft auf K gleichgesetzt und nach Fu = m · g berechnet.

Ist das erlaubt ?

Wenn ein Körper K an einer Feder ruhig hängt, dann kann daraus zunächst nur geschlossen werden, dass die Feder der Erdanziehung mit der Kraft FF = m  · g entgegen wirkt und so den Körper in Ruhe hält. Dass der Körper K mit seiner Gewichtskraft an der Feder zieht, ist eine Schlussfolgerung aus dem Wechselwirkungsgesetz, wonach der Federkraft FF = m · g eine gleich große Kraft entgegen wirkt. Damit direkt aus der Dehnung einer Feder auf die verursachende Kraft geschlossen werden kann, ist ein Gesetz erwünscht, welches die Abhängigkeit der Dehnung s von der Kraft F zeigt.

Es gilt: Die Federdehnung ist der verursachenden Kraft proportional.

F/s = Konstante D   F = D · s

Die Konstante D, Federkonstante oder Federhärte genannt, beschreibt die Kraft der Feder nach Dehnung um eine Längeneinheit. Nach ihrer Kenntnis kann eine Kraft leicht anhand der von ihr verursachten Federdehnung bestimmt werden. In der Abb. 1.6.1 ist ein Federkraftmesser zu sehen. In einer Hülse ist eine Schraubenfeder, die an einem die Hülse tragenden Haken H befestigt ist. Das lose Ende dieser Feder trägt ein Stäbchen, welches unten aus der Hülse herausragt und dort einen Haken hält, an dem die zu messende Kraft angreifen kann. Eine weiße Markierung M am Stäbchen zeigt die Stärke der Kraft an.

Abb. 1.6.1: Federkraftmesser





1.6.1.2 Kraftmessung mit der Experimentierwippe (das Drehmoment)

Zur Messung von Kräften ist die Experimentierwippe gut geeignet. Sie hat gegenüber einem einfachen Federkraftmesser den Vorzug, dass die Kräfte mit einem Schreiber oder Rechner registriert werden können. Die zu messende Kraft kann man, wie in der Abb. 1.6.2 dargestellt, direkt an einem Ende der Wippe angreifen lassen. Es muss dabei beachtet werden, dass neben dem Betrag der Kraft auch noch deren Richtung und Angriffspunkt für die Drehung der Wippe maßgebend sind. Bestimmt wird die Drehung durch das als Drehmoment bekannte Produkt M = |F| · L.     F = |F| ist der Betrag der drehenden Kraft ( hier eine Gewichtskraft ), L ist der Hebelarm, der Abstand der Drehachse vom Kraftpfeil oder dessen Verlängerung. Der Kraftpfeil beginnt am Angriffspunkt der Kraft.

Die Drehung der Wippe und das diese Drehung anzeigende elektrische Signal ist bei Drehmomenten < 5 N· m proportional zu M. Ein starrer Körper mit einer bestimmten Rotationsachse wird Hebel genannt (siehe Abb. 1.6.3).

Abb. 1.6.2                                                 Abb. 1.6.3                                         Abb. 1.6.4 

Für die Auswirkung einer Kraft F auf einen Hebel ist deren Drehmoment M = |F| · L maßgebend.Folglich gilt: Zwei an einem Hebel angreifende Kräfte mit gegensätzlichem Drehsinn verursachen keine Drehung, wenn die Beträge ihrer Drehmomente übereinstimmen ( siehe Abb. 1.6.3).

|F1|·L1 = |F2| ·L2 muss gelten, wenn der in der Abb. 1.6.3 abgebildete Hebel in Ruhe bleiben soll.

Hebelgesetz

Mit der Wippe können direkt an ihr angreifende Kräfte nur dann mit ausreichender Genauigkeit gemessen werden, wenn sie größer als 0,005 N sind. Zur Messung kleiner Kräfte dient die in Abb. 1.6.4 skizzierte Versuchsanordnung.   Am hinteren Ende der Wippe sind zwei Aluminiumschienen E und H angebracht. H ist am Rahmen der drehbaren Glasplatte und E ihr gegenüber am festen Rahmen befestigt. Auf diese beiden Schienen wird ein Hebel so aufgelegt, dass sein Schwerpunkt zwischen E und H liegt. Wirkt auf das eine Ende des Hebels die Kraft F1 dann wird die größere Kraft F2 = (a/b)·F1 über die Schiene H der Wippe mitgeteilt. a ist der zu F1, und b der zu F2 gehörende Hebelarm. Die obere Kante von E ist die Drehachse des aufgelegten Hebels.

Zur Begründung dieser Behauptung muss gesagt werden, dass der Hebel sich unter F1 solange um E dreht, bis von der Schiene H ein rechts drehendes Moment ausgeübt wird, welches das Moment der Kraft F1 ausgleicht. Da die von H ausgehende Kraft betragsmäßig mit F2 übereinstimmt, können wir schreiben:

|F1| · a = |F2| · b       |F2 | = (a/b) · |F1|

Eine Metallscheibe in einer mit Öl gefüllten Schale S sorgt dafür, dass der Hebel nach einer plötzlichen Belastung nicht lange hin und her schwingt. Eine verschiebbare Hülse B sowie ein auf der Wippe verschiebbares Gewicht G ermöglichen das Ausbalancieren des Hebels.



1.6.1.3 Kraftmessung mit einem Konstandraht

Zur elektrischen Messung von Kräften werden meistens sogenannte Dehnungsmessstreifen eingesetzt. Das in der Abb.1.6.5 mit einem D gekennzeichnete Gebilde ist ein solcher Dehnungsmessstreifen. Zwischen zwei Folien ist ein mäanderförmig gewundenes Konstantanbändchen eingebettet.

Abb. 1.6.5                        Abb. 1.6.6

In der Abbildung sind die Bedingungen erkennbar, unter denen ein solcher Dehnungsmessstreifen Kräfte anzeigt. Er bildet mit 3 weiteren Leitern A, B und C eine als Wheatstonebrücke bezeichnete Leiterkombination. Die vom -Pol zum +Pol einer Stromquelle fließenden Elektronen nehmen je zur Hälfte den Weg durch das obere (A,B) und durch das untere Leiterpaar (D,C), denn die elektrischen Widerstände der Leiter stimmen überein. Es besteht kein Anlass für einen Strom durch das an den Punkten e und f angeschlossene Messgerät.

Wenn der Dehnungsmessstreifen D unter einer Kraft gedehnt wird, dann zeigt das angeschlossene Messgerät von f nach e fließende Elektronen an. Eine Erklärung hierfür wird sofort gefunden. Die Leiter A, B, C und D, die anfangs übereinstimmende elektrische Widerstände hatten, werden nicht mehr von gleich starken Strömen durchflossen, denn D hat nun einen höheren Widerstand als die anderen Leiter, da seine Leiterbahnen bei Belastung länger und dünner werden. Zunächst verteilen sich die vom - Pol kommenden Elektronen je zur Hälfte auf B und C, dann aber zieht ein Teil der durch C fließenden Elektronen den Leiter A wegen seines geringeren Widerstandes dem Leiter D vor und nimmt den Weg über das Messgerät.

Es ist noch anzumerken, dass man eine Kraft niemals direkt am Dehnungsmessstreifen angreifen lässt. Dehnungsmessstreifen werden zur Kraftmessung auf elastische Gegenstände geklebt. Diese werden einer Kraft ausgesetzt.

Anstelle eines Dehnungsmessstreifens kann auch ein Konstantandraht als Kraftsensor eingesetzt werden (siehe Abb. 1.6.6). Man nimmt Konstantan statt Kupfer oder Eisen, denn dieses Metall hat gegenüber Eisen oder Kupfer den Vorzug, dass sein elektrischer Widerstand nur sehr wenig von Temperaturänderungen abhängig ist, weshalb solche Änderungen keine Kräfte vortäuschen können. Die Abb. 1.6.7 zeigt eine im Lehrmittelhandel erhältliche Leiterplatte (Höhne-Messtechnik) mit einer Wheatstonebrücke und einem Signalverstärker. Der als Kraftsensor dienende Konstantandraht ist mit Trinkhalmen zu einer Raute aufgespannt, damit kleine Kräfte gemessen werden können. Ein Haken hängt an der unteren Ecke der Raute. An ihm zieht ein Gegenstand der Masse m mit der Kraft F = m·g. Nach den Ausführungen im Kapitel 1.5.2 (Kräfte an einer tragenden Leine) sind die vom Haken auf den Draht nach links und rechts wirkenden Zugkräfte nicht gleich F/2 , sondern um den Faktor L/h größer.

Abb. 1.6.7





1.6.2 Messung der Zentripetalkraft

Zur Messung der Zentripetalkraft muss die Wippe unempfindlicher gemacht werden. Dies erreicht man, indem man die dem Sensor abgewandte Rahmenleiste der Wippe arretiert (siehe Abb. 1.6.8). Zwei aus einer Nut dieser Leiste herausgezogene Stäbchen greifen unter den äußeren Rahmen und behindern somit die Drehung der Wippe. Die vordere Rahmenleiste wird hiernach bei Belastung mit einem Körper nur geringfügig nach unten gedrückt. An dieser Leiste hängt ein Pendel. Es wird nach links soweit umgelenkt, bis der Pendelkörper (100 g) die Höhe der Wippe erreicht und dann freigegeben. Der Pendelkörper durchläuft daraufhin die in der Abb. 1.6.9 angedeutete Kreisbahn. Während dieses Vorgangs wird das in Abb. 1.6.10 sichtbare Diagramm aufgezeichnet, welches zunächst eine Entlastung um m · g und dann eine Belastung um 3 · m · g anzeigt. Mit 3 · m · g wirkt der Körper am tiefsten Punkt seiner Bahn. 2 · m · g ist die Gegenkraft zur Zentripetalkraft.

Abb. 1. 6.8                   Abb. 1. 6.9            Abb. 1. 6.10

Wie verhält sich die Zentripetalkraft F = 2· m ·g zu der Geschwindigkeit am tiefsten Bahnpunkt ?

Es ist bekannt, dass nur die durchlaufene Höhendifferenz für die Geschwindigkeit des Pendelkörpers maßgebend ist. Es ist gleichgültig, ob der Körper um r fällt oder diese Höhenänderung auf einer Kreisbahn erfährt.

Bei einem Fall aus der Höhe r gilt: r = (g/2)·t2 ,   v = g · t    →     t = v/g

r = (g/2)·(v/g)2     →    v2 = 2 · g · r

v2 = 2 · g · r ;    F = 2· m ·g    →     F/v2 = 2 · m · g / (2 · g · r) = m/ r    → F = m · v2 / r





1.6.3 Messung von Reibungskräften

1.6.3.1 Gleit- und Haftreibung

Gleitreibung

Ein auf einer waagrechten Platte angestoßenes Holzklötzchen verharrt nicht in einer gleichförmigen Bewegung, sondern kommt nach kurzer Zeit zur Ruhe. Diese Tatsache weist auf eine von der Platte ausgehende Reibungskraft FR hin, welche der Bewegung entgegenwirkt. Kleine Erhebungen der Berührungsflächen behindern sich gegenseitig.

Abb. 1. 6.11

Zieht man, wie in Abb. 1.6.11 sichtbar, ein Holzklötzchen mit einem Federkraftmesser gleichförmig über die Tischplatte, dann ist die Federkraft Fz dem Betrage nach gleich der Reibungskraft FR. Die Reibungskraft kann deshalb am Kraftmesser abgelesen werden. Es stellt sich heraus, dass die Reibungskraft nicht von der Geschwindigkeit und der Größe der reibenden Flächen abhängig ist. Neben deren Rauigkeit ist nur noch die Kraft von entscheidender Bedeutung, mit der das Klötzchen auf seine Unterlage drückt. Diese Kraft trägt den Namen Normalkraft FN. Wenn das Klötzchen auf einer waagrechten Fläche liegt, dann gleicht FN seiner Gewichtskraft.

Es gilt: FR ~ FN ( FR = |FR| !)

Der Quotient FR/FN kennzeichnet die Rauigkeit der reibenden Flächen, er wird Reibungskoeffizient µ genannt.

FR/FN = µ

Haftreibung

Wird ein Holzklötzchen aus der Ruhe in Bewegung gesetzt, dann ist zunächst eine im Vergleich zur Gleitreibungskraft größere Kraft, Haftreibungskraft FH genannt, erforderlich. Zieht man einen Schlitten auf einem mit Schnee bedecktem Weg an, dann ist der Unterschied zwischen Haft- und Gleitreibungskraft besonders auffällig.

Auch für FH gilt:

FH ~ FN           FH / FN =   µH, µH : Haftreibungskoeffizient (µH > µ )

Wegen FH > FR sollte ein Autofahrer darauf achten, dass sein Auto nicht mit schleifenden, sondern mit rollenden Rädern gebremst wird, denn die maximale Haftkraft eines rollenden Rades ist nicht FR , sondern FH.

Aufgaben:

1. Ein Auto der Masse m wird auf ebener Straße bei v0 = 100 km/h voll gebremst, so dass es rutscht (siehe Abb. 1.6.12 ).

Wie lange ist der Bremsweg s bei einem Reibungskoeffizient µStraße-Reifen = 0,8 ?

Abb. 1.6.12                                         Abb. 1.6.13

2. Ein Wagen mit der Masse m1 = 200 g rollt auf ebener Strecke mit v = 3 m/s auf einen Bremsklotz mit m2 = 100 g (siehe Abb. 1.6.13 ).

Wie lange ist der Bremsweg s bei einem Reibungskoeffizient µBremsklotz-Fahrbahn = 0,6 ?

3. Ein Auto fährt in einer ebenen Kurve mit dem Radius r = 50 m.

Welche Geschwindigkeit v darf das Auto maximal haben, wenn es nicht aus der Kurve heraus rutschen soll ?

Der Reibungskoeffizient µ betrage 0,9.





1.6.3.2 Reibungskräfte in einer Flüssigkeit

Die Reibungskraft eines gleitenden Körpers ist von dessen Geschwindigkeit unabhängig. Anders verhält es sich mit der von einer Flüssigkeit verursachten Reibungskraft. Zur Untersuchung der Flüssigkeitsreibung dient das in der Abb.1.6.14 angedeutete Experiment. Auf der Experimentierwippe steht ein mit Motoröl gefüllter Zylinder. In ihm wird eine Eisenkugel an einem Faden gleichförmig herabgelassen. Der Punkt A des hierbei aufgenommenen Diagramms kennzeichnet den Beginn der Bewegung. Die auf die Wippe wirkende Kraft wird um die Reibungskraft vergrößert.Der Punkt B ist der Berührung der Kugel mit dem Boden des Zylinders zuzuordnen. Die Reibungskraft sowie die Bewegungszeit werden durch die vertikalen- und horizontalen Abstände der beiden Punkte angezeigt. Lässt man die Kugel verschieden schnell von der Oberfläche des Öls bis zum Gefäßboden herab sinken, dann ist festzustellen, dass F ~ 1/t ist.

Abb. 1.6.14

Bei doppelter Zeit ist die Reibungskraft nur noch halb so groß.

Somit gilt:

Die Reibungskraft F ist zur Kugelgeschwindigkeit v proportional. F ~ v

Ebenfalls proportional zur Geschwindigkeit ist die Kraft, die ein durchlässiges Gewebe einer strömenden Flüssigkeit entgegensetzt. Zu dieser Einsicht gelangt man auf etwas indirekte Weise mit dem folgenden Experiment (siehe Abb. 1.6.15). An der freien Schmalseite der Experimentierplatte hängt ein Gefäß mit textilem Boden. Aus diesem Gefäß läuft Wasser aus, wobei der Rechner das nebenstehende Diagramm aufzeichnet. Wie an dem Diagramm erkennbar, läuft in einer Zeit th, der sogenannten Halbwertszeit, unabhängig vom anfänglichen Wasserstand die Hälfte der Wassermenge aus.

Abb. 1.6.15

Im ersten Zeitabschnitt der Dauer th nimmt die Wassermasse m0 auf m0/2 ab. Am Ende des darauf folgenden Zeitabschnitts gleicher Dauer hat der Gefäßinhalt die Masse m = m0·(1/2)·(1/2) und nach der Zeit t = n·th ( n = t/th ) gilt :

m = m0 · (1/2)n = m0 · (1/2)(t/th) = m0 · 2 - (t/th)

Eine Exponentialfunktion beschreibt das Ausfließen des Wassers.

Spricht dieser Befund für FR ~ v ?

Kann das Ergebnis unter der Voraussetzung FR ~ v hergeleitet werden?

Es gilt: m · g - FR =  m· a  →   FR =   m · g - m· a

Da die die Beschleunigung a des Wassers im Vergleich zu g vernachlässigbar klein ist, können wir schreiben: FR = m · g .   m ist die Masse des im Gefäß befindlichen Wassers. Δm (Δm < 0) steht für die Änderung dieser Masse in einem kleinen Zeitabschnitt Δt. Sind z.B. 10g ausgeflossen dann gilt: Δm = Massenach ΔtMasse vor Δt = - 10g .    - Δm ist somit die Masse des Wassers, die in diesem kurzen Zeitabschnitt Δt ausfließt.

Aus der Annahme v ~ FR folgt unter Berücksichtigung   -Δm/Δt ~ v:

-Δm/Δt ~ FR;   FR = m· g   →   -Δ m ~ m· g·Δt   →   - Δm /( m· Δt ) = Konstante = k

Δm = mnach Δt - mvor Δt = - k · mvor Δt· Δt   →    m nach Δt = mvor Δt  -  k · m vor Δt · Δt

mnach Δt = mvor Δt·(1- k·Δt )

Mit dem im Kapitel 1.4.2 vorgestellten Tabellenkalkulationsprogramms kann untersucht werden, wie die im Gefäß befindliche; Wassermasse abnimmt.

= A2+$D$2“ und „= B2*(1-$C$2*$D$2)“ werden in der dritten Zeile unter A und B eingetragen. In die zweite Zeile werden Werte für k und Δt (k = 0,2 s-1, Δt = 0,03s) sowie die Anfangswerte der Zeit und der Masse geschrieben. Anschließend wird der unter A und B liegende Abschnitt der dritten Zeile in 1000 darunter liegende Zeilen kopiert und schließlich das in der Abb. 1.6.17 sichtbare Bewegungsdiagramm erstellt. Sehr deutlich ist zu erkennen, dass die Halbwertszeit unabhängig von der anfangs vorhandenen Wassermenge ist. Nach 3,46 s sind 100g ausgelaufen, nach weiteren 3,46 s sind nur noch 50 g im Gefäß. Die Behauptung FR ~ v ist somit bestätigt.

                   Abb. 1. 6. 16                                                    Abb. 1. 6.17: Tabelle 2

Wie hängt die Halbwertszeit th von der Konstanten k ab ?

Mit größer werdendem k erfolgt die Entleerung schneller. Vermutlich sind th und k umgekehrt proportional. Trägt man in die Tabelle verschiedenen Werte für k ein, dann ist erkennbar, dass die Vermutung zutrifft. In jedem Fall hat th · k den Wert 0,692.

m = m0·2 t/ th ;  th = 0,692 / k    →    m = m0·2(1/ 0,692) ·k ·t     →    m = m0·[2 (1/ 0,692)]k· t

Zur Vereinfachung dieses Terms wählen wir 21/0,692 = 2,72 als Basis und benennen diese mit dem Buchstaben e. So können wir schreiben : m = m0 · ek·t

e als Grenzwert von [a/(a-1)]a für a → ∞

Der oben angegebene Gleichung für die Entleerung soll nun hergeleitet werden.

m1 = m0 · (1- k·Δt ) ist die Masse, die von der Anfangsmasse m0 nach dem ersten Zeitabschnitt der Dauer Δt übrig ist. Für die Masse m2 nach dem zweiten Zeitabschnitt gilt entsprechend: m2 = m1 ·(1- k·Δt ).

m2 = m1 ·(1- k·Δt );   m1 = m0 ·(1- k·Δt )  →   m2 = m0 ·(1- k·Δt )2

Die Masse mn am Ende eines aus n Zeitabschnitten gebildeten Zeitraums der Größe t kann somit errechnet werden nach:

mn = m0· (1- Δt ·k)n  =  m0· (1- Δt ·k)t/ Δt  = mt ;    t/ Δt = n

Bei der Herleitung wurden sehr kleine Zeitabschnitt Δt vorausgesetzt, in denen sich die Änderung von m nicht nennenswert auf die Fließgeschwindigkeit auswirkt. Der durch die stetige Änderung der Fließgeschwindigkeit bedingte Fehler strebt mit kleiner werdendem Δt gegen 0.

Da eine Gleichung der Form mt = m0 · ek·t  hergeleitet werden soll, wird m0·(1- Δt ·k)t/ Δt   zu   m0·{(1-Δt ·k)- 1 / (k ·Δt)}k · t   umgeformt. 1/( Δt ·k) nennen wir a.

mt = m0·{(1-1/a)- a} k ·t =  m0·{[(a-1)/a]- a} k ·t = m0·{[(a/(a-1)]a} k ·t

Bei kleiner werdendem Δt wird a größer. [a/(a-1)]a strebt erwartungsgemäß mit zunehmendem a gegen einen Wert bei 2,72 ( siehe Tabelle in der Abb. 1. 6.18). Angesichts dieser Tatsache erscheint es sinnvoll, e als Grenzwert von [a/(a-1)]a zu definieren.

e   =  lim(a → ∞) [a/(a-1)]a

Abb. 1. 6.18     Tabelle 3

Hier ist noch Folgendes anzumerken:

Aus „(- Δm/m )/Δt = Konstante = k   ↔   Δm /Δt = - k · m“ folgt unter Berücksichtigung von m = m0 · ek·t :   Δm /Δt  =   - k · m0 · ek ·t.

Wenn man es sehr genau nimmt, dann müsste das Gleichheitszeichen in der letzten Gleichung durch „≈“ ersetzt werden, denn dass Gleichheitszeichen ist nur für

lim Δm /Δt Δt →0 = dm/dt erlaubt.

dm /dt = - k · m0 · e – k·t ,   m = m0 · ek·t

Folgende Regel ist erkennbar: Den Differentialquotient von einer Funktion A·eb·t erhält man, indem man die Funktion mit b multipliziert.





1.6.3.3 Reibungskraft der Luft

Abb. 1.6.19

Jeder Körper erfährt in einem Luftstrom eine Reibungskraft. Eine solche Kraft F kann z.B. so gemessen werden, wie dies in Abb. 1.6.19 angedeutet ist. Beim Vergleich der Kräfte, die sich zu verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten v einstellen, findet man:

F~ v² → F/v² = Konstante = k   →    F = k · v²

Die Kraft ist dann proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit, wenn hinter dem angeblasenen Gegenstand starke Wirbelbildung erkennbar ist. Die Konstante k ist von der Form des angeblasenen Gegenstandes abhängig. Dies hier aufgestellte Reibungsgesetz muss berücksichtigt werden, wenn es darum geht, die Bahn einer Kanonenkugel zu berechnen. Deren Bewegung weicht infolge der Luftreibung erheblich von einem Parabelbogen ab.





1.6.4 Messung der Auftriebskraft einer Flüssigkeit

Abb. 1.6.20

Mit der Anordnung der Abb. 1.6.20 kann die Kraft gemessen werden, die das in einem Becherglas aufsteigende Wasser auf die Unterseite eines Holzstabs ausübt. Der Holzstab übt über den ihn haltenden Stativstab ein Drehmoment auf die Wippe aus - das Becherglas steht vor der rechten Hälfte der Wippe. Bei einem gleichmäßigen Zufluss des Wassers zeichnet der Rechner eine nach oben gehende Gerade. Hiermit wird angezeigt, dass die durch das Wasser hervorgerufene Kraft F zur Eintauchtiefe direkt proportional ist. Werden solche Messungen mit Holzstäben verschiedenen Querschnitts A durchgeführt, dann ist zu sehen, dass F zu A proportional ist. F/A ist konstant, wenn die Eintauchtiefe nicht geändert wird.

Das Verhältnis F/A heißt Druck p. Die Druckeinheit l N/m² trägt den Namen Pascal ( Abkürzung: Pa ). 100000 Pa werden zu der Einheit l bar zusammengefasst.

Einen Hinweis zur Berechnung des Wasserdrucks gibt das nächste in Abb. 1.6.21 dargestellte Experiment. Nicht ein Holzstab, sondern ein von einem dünnen Stiel gehaltenes Blech taucht in das Becherglas. Wenn Wasser über das Blech hinaus aufsteigt, wird keine Wasserkraft angezeigt. Dies deutet darauf hin, dass der Druck auf der Unterseite des Blechs gleich dem Wasserdruck auf der Oberseite ist. Der Druck ist offensichtlich nicht davon abhängig, ob die Angriffsfläche nach oben oder unten weist.

Abb. 1.6.21  Abb. 1.6.22

Die Kraft auf die Unterseite des Blechs erschien zunächst nicht berechenbar, anders verhält es sich mit der Kraft F auf die Oberseite. Sie wird sofort als Gewichtskraft der darüber stehenden Wassermasse erkannt.

F = m ·g;   F = ρ · h ·A · g

m: Masse des über dem Blech stehenden Wassers;   A: Fläche des Blechs;   ρ: Dichte des Wassers ;   h: Eintauchtiefe des Blechs

Für den Wasserdruck p in der Tiefe h gilt demnach: p = F/A = ρ · g · h

In dem Experiment der Abb. 1.6.22 wird die Auftriebskraft untersucht, die ein Quader durch das im Glas aufsteigende Wasser erfährt. Das Kraft-Zeit-Diagramm zu diesem Experiment strebt nur dann aufwärts, solange das Wasser von der Unterseite zur Oberseite des Quaders steigt. Ist der Quader allseits von Wasser umgeben, bleibt die Auftriebskraft konstant. Diese Tatsache ist leicht verständlich. Wenn das Wasser den Quader übersteigt, dann nimmt der Druck auf die Oberseite ebenso zu wie der Druck auf die Unterseite. Zur Berechnung der Auftriebskraft F müssen wir die oben und unten wirkenden Flüssigkeitskräfte subtrahieren.

F1 = A · p1 ;   F2 = A · p2

p1 ist der von oben und p2 der von unten wirkende Wasserdruck.

p1 = ρ · g · h1 ;   p2 = ρ · g · h2

F = F2 – F1 = A · ρ · g · h2 – A · ρ · g · h1

F = ρ · g · A · ( h2 – h1);  A · ( h2 – h1) ist das Volumen, ρ · A · ( h2 – h1) die Masse und g ·ρ · A · ( h2 – h1) die Gewichtskraft des verdrängten Wassers.

Gesetz des Archimedes: Die Auftriebskraft F ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.

Ein eindrucksvolles Experiment zum Gesetz des Archimedes ist in Abb. 1.6.23 dargestellt. Auf der Wippe steht eine mit Wasser gefüllte Wanne. Ein Schiffchen wird an einem Faden zunächst auf der Glasfläche an der Wanne entlang und dann durch das Wasser von links nach rechts gezogen. Im 2. Fall wird keine Gewichtsverlagerung registriert, denn die Gewichtskraft des Schiffchens ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers.

Abb. 1.6.23





1.6.5 Bestimmung des Lungenvolumens durch eine Kraftmessung an der ausgepusteten Luft

Wie in der Abb. 1.6.24 erkennbar ist, wird aus voller Lunge Luft durch ein um 90° gebogenes Rohr gleichmäßig geblasen. Die Luft erfährt an der Rohrbiegung eine Impulsänderung, die nach dem Wechselwirkungsgesetz eine Kraft auf den an der Wippe angeklemmten Stativstab zur Folge hat. Das zugehörende F-t-Diagramm ist in Abb. 1.6.25 zu sehen.

Abb. 1.6.24               Abb. 1.6. 25

F = m · v/t;    m = V · ρ   F = V · ρ · v/t

m = Luftmasse; ρ = Dichte der Luft; V = Luftvolumen

v = Strömungsgeschwindigkeit ;   ρ = 1,2 kg/m3;  Ф = Durchmesser des Rohres = 7,4 mm;  A = Querschnitt des Rohres;  t = Zeit des Blasens

Wir stellen uns vor, der waagrechte Teil des Rohres sei so lang, dass er die gesamte ausgepustete Luft mit dem Volumen V aufnehmen kann. Wenn sich die Luft in diesem Teil befindet, dann erstreckt sie sich über die Länge v · t.

v·t·A = V;  v = V/(A·t)

Nach Einsetzen von v = V/(A · t) in F = V · ρ · v/t , findet man:

F = V2 · ρ/(A·t2)  V2 = F · A ·t2

F und t können am Diagramm in der Abb. 1. 6.25 abgelesen werden.

F = 0,026 N ; t = 4,3 s    V = t · (F · A /ρ) = 0,0041 m³





1.6.6 Messung der Gravitationskraft

Die Erde zieht einen Körper K der Masse m1 mit der Gewichtskraft m1 ·  g an. Unter Hinweis auf das Wechselwirkungsgesetz kann man auch sagen:

Der Körper K zieht die Erde mit der Kraft m1 · g an.

Diese Kraft ist der Masse des Körpers K proportional. Wenn sich die Masse von K auf die Kraft auswirkt, dann wird man auch der Masse m2 der Erde einen entsprechenden Einfluss zubilligen müssen.

F ~ m1;  F ~ m2   →   F ~ m1 · m²

Wie hängt diese Kraft von dem Abstand r der Massenmittelpunkte ab ?

Eine Antwort kann nach Untersuchungen mit der in Abb. 1.6.26 skizzierten Drehwaage nach Eötvös gegeben werden..Zwei große Bleikugeln mit den Massen m1 ziehen zwei kleine Bleikugeln mit den Massen m2 im Abstand r an. Infolgedessen erfährt der an einem Stahldraht aufgehängte Stab St (er trägt die kleinen Kugeln und einen Spiegel ) eine winzige Drehung. Ein am Spiegel reflektierter Lichtstrahl zeigt diese Drehung an. Aus der Drehung kann auf die Anziehungskraft geschlossen werden.

Abb. 1.6.26

Untersuchungsergebnis: F ~ 1/r2       F ~ m1 · m2/ r2      F / ( m1 · m2/ r2) = Konstante = G (Gravitationskontante) = 6,67· 10-11 m³ /(kg· s2)

F = G ·m1 · m2 / r2   Gravitationsgesetz

Mit dem Gravitationsgesetzes können wir bei bekanntem Erdradius r = 6370000 m die Masse der Erde bestimmen. Für die Erdanziehungskraft F = m · g, die ein kg-Körper an der Erdoberfläche erfährt, gilt:

1 kg ·g = G · (1kg ·mErde) / r2      mErde =  r2 · g /G = 5,97 · 1024 kg





1.6.7 Ein Kraftmesser als Beschleunigungsmesser

In Abb. 1. 6.27 ist eine Person zu sehen, die auf einem 3 cm dicken Brett aus der Kniebeuge in den Stand geht. Ein Drahtmesswandler auf der Unterseite des Bretts dient als Kraftsensor (siehe Abb. 1.6.29). Der Konstantandraht des Messwandlers wird bei der Belastung des Bretts gedehnt, denn das Brett wird leicht durchgebogen. Das angeschlossene Messgerät ist zur Anzeige der Beschleunigung a kalibriert.

Abb. 1. 6.27         Abb. 1. 6.28                                             Abb. 1. 6.29                                      

Tritt eine Person auf das Brett, dann wird der hierdurch verursachten Änderung der Anzeige nicht die Kraft m · g, sondern die Beschleunigung g zugeordnet. Diese Kalibrierung wird verständlich, wenn man bedenkt, dass die Kraft der Person auf das Brett um m· g zunimmt, wenn diese ihren Schwerpunkt mit g nach oben beschleunigt. In der Abb. 1.6.28 ist das zur dargestellten Bewegung gehörende Beschleunigungsdiagramm zu sehen. Mit Hilfe von Computerprogrammen z.B. „Mathe.-Physik“ kann aus einem a-t-Diagramm des Schwerpunkts schnell ein v-t-Diagramm entwickelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t ermittelt ein solches Programm folgendermaßen:

1. Die Zeit seit Beginn des Beschleunigungsvorgangs bis zum Zeitpunkt t wird in viele kleine Zeitabschnitte Δt eingeteilt. Ein Δt ist so klein, dass sich die Beschleunigung a innerhalb dieses Zeitraums kaum ändert und so die Geschwindigkeitsänderung in Δt durch Bildung des Produkts a ·Δt errechnet werden kann.

2. Die vielen kleinen Geschwindigkeitsänderungen a ·Δt während dieser Zeitabschnitte Δt werden errechnet und addiert. Die Summe dieser Änderungen gleicht der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.

Die hier beschriebene Summenbildung nennt man Integration.