1.4 Bewegung unter einer Kraft mit konstantem Betrag

1.4.1 Geradlinige Bewegung

Es gibt eine Vielzahl von Bewegungen, die unter konstanter Kraft ablaufen. Man denke zum Beispiel an einen Wagen auf einer schiefen Ebene, an das Abbremsen eines Autos oder den Wurf eines Körpers. Bei der Behandlung solcher Bewegungsarten beschränken wir uns zunächst auf die geradlinige Bewegung.



Man stelle sich einen Körper K der Masse m vor, der unter einer Kraft F entlang der x-Achse bewegt wird (siehe Abb. 1.4.1). Zum Zeitpunkt t = 0 befinde er sich am Ort x0 und habe die Anfangsgeschwindigkeit v1;0.

Kräfte, Beschleunigungen und Geschwindigkeiten in x-Richtung erhalten den Zeiger (Index) 1!

Abb. 1.4.1


Welche Geschwindigkeit v1 hat der Körper zu einem späteren Zeitpunkt t ?

Es gilt: F1 = m · a1      a1 = F1 /m

Da die Beschleunigung konstant ist, gehören zu gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitsänderungen. Die Änderung der Geschwindigkeit v1 – v1;0 ist der Zeit t proportional.

(v1v1;0 )/t = a1     v1 = a1 ·t + v1;0

Welchen x-Wert hat der Körper zum Zeitpunkt t ?

Bei konstanter Beschleunigung ist die mittlere Geschwindigkeit gleich dem Mittelwert aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit.

(x - x0)/t  =  (v1 + v1;0 )/2

v1 =  a1 · t + v1;0

(x-x0)/t = [( a1 ·t + v1;0)+ v1;0 ]/2   =   ½ · a1 ·t + v1;0   →   x = ½ · a1 ·t² + v1;0 ·t + x0

Bei einer räumlichen Bewegung von K erhält man für dessen Projektionen P1, P2, und P3 auf die Achsen des Koordinatensystems:

Abb. 1.4.2

v1 = a1·t + v1;0 ; x = ½ · a1 · t2 + v1;0 · t + x0

v2 = a2·t + v2;0 ; y = ½ · a2 · t2 + v2;0 · t + y

v3 = a3·t + v3;0 ; z = ½ · a3 · t2 + v3;0 · t + z0

v1;0 , v2;0 ,v3;0: Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t = 0

x0, y0, z0: Koordinaten von K zum Zeitpunkt t = 0.



Die Beschleunigungen können bei konstanter Masse aus den Kraftkoordinaten F1 = m· a1 , F2 = m· a2, F3 = m· a3 bestimmt werden. Die zuletzt angegebenen Gleichungen werden zu Vektorgleichungen zusammengefasst.

{v1 ; v2 ; v3 } = {a1 ; a2 ; a3 }· t + {v1;0 ; v2;0 ; v3;0 }

v = a·t + v0

{x; y; z } = ½ · {a1 ; a2 ; a3 }· t2 + {v1;0 ; v2;0 ; v3;0 } ·t + {x0 ; y0; z0 }

r = ½ ·a·t2 + v0 · t + r0

r = {x; y; z };  v0 = {v1;0 ; v2;0 ; v3;0 };  r0 = {x0; y0; z0 }

Wirkt keine Kraft ( a = 0), dann verläuft die Bewegung gleichförmig nach

r = v0·t + r0 .

K weicht zum Zeitpunkt t um ½ ·a·t2 von dem Ort P’ ab, den K bei fehlender Kraft genau dann erreicht hätte und hat in Bezug auf diesen Ort die Geschwindigkeit a·t.

Der Wurf als Beispiel

 Für die Bewegung unter einer konstanten Kraft F gelten die folgenden Gleichungen: v = a·t + v0r = ½ ·a·t2 + v0 · t + r0; a = F/m

v0: Vektor der Anfangsgeschwindigkeit; r0: Ortsvektor der Startpunktes

Wir gehen davon aus, dass die Erdanziehungskraft auf einen hoch geworfenen Körper K eine konstante, nach unten gerichtete Kraft F ist und dass ihr demnach ein konstanter, nach unten gerichteter Beschleunigungsvektor a zugeordnet werden kann. In einem Koordinatensystem ( siehe Abb. 1. 4.3) mit einer nach oben gerichteten y-Achse ist a = {0, -g, 0 }. g ist der Betrag der Erdbeschleunigung, der in Mitteleuropa 9,81 m/s2 beträgt.

Das nebenstehende Koordinatensystem zur Beschreibung des Wurfs ist ein sogenanntes Rechtssystem. Die x-, die y- und die z-Achse verhalten sich ihrer Richtung nach wie der Daumen, der Zeige- und der Mittelfinger der rechten Hand, wenn der Mittelfinger von den beiden anderen rechtwinklig abgespreizt ist.

Abb. 1.4.3


Liegen r0 und v0 in der x-y-Ebene dann gilt:

{x; y; z } = ½ · {0; -g, 0} · t2 + {v0;1; v0;2; 0 } · t + {x0 ; y0 ; 0 }

{v1; v2; 0 } = {0; -g, 0} · t + {v0;1; v0;2; 0 }

In diesem Fall können die z-Koordinaten unbeachtet bleiben. Für die anderen Koordinaten gilt:

x = v0;1· t + x0;     y  =  - ½ · g · t2 + v0;2 · t + y0

v1 = v0;1 ;   v2 =  -g · t + v0;2

Bei fehlender äußerer Kraft würde sich K nach {x; y } = {v0;1; v0;2 }· t + {x0 ; y0 } bewegen (a = 0) und in der Zeit t mit konstanter Geschwindigkeit einen Punkt P’ erreichen. Stattdessen gelangt K in dieser Zeit zu einem Punkt, der g · t2 /2 unter P’ liegt (siehe Abb. 1.4.6 ).

Die oben angegebenen Gesetze passen auch zu einer Kugel K, die über eine schiefe Ebene rollt. Die x und y-Achsen müssen in diesem Fall in der schiefen Ebene liegen und zwar so, dass die x-Achse waagrecht und die y-Achse schräg nach oben weist. Zur Berechnung ist anstelle von g die Beschleunigung einer abwärts rollenden Kugel einzutragen. Die Projektion der Kugel auf der x -Achse bewegt sich gleichförmig, die Projektion auf die y-Achse gleichförmig-beschleunigt.Die letzten Aussagen sind leicht mit der Experimentierwippe nachprüfbar. In der Abb. 1. 4.4 auf der nächsten Seite sind Bewegungen auf einer schräg geneigten Wippe dargestellt. P ist die Projektion der rollenden Kugel K auf die Längskante der Glasplatte.

Abb. 1.4.4

Die von dem an die Wippe angeschlossenen Rechner geschriebenen Weg-Zeit-Diagramme sind dem Punkt P zuzuordnen.

Die Diagramme zeigen:   P bewegt sich im Fall 1 erwartungsgemäß gleichförmig und im Fall 2 mit einer konstanten Beschleunigung, die unabhängig ist von der Bewegung in horizontaler Richtung.

Anmerkung für den Experimentator: Beide Rändelschrauben der angehobenen Längsseite sind unterlegt

Das in Abb. 1.4.5 dargestellte Experiment dient zur Prüfung der für einen Wurf aufgestellten Bewegungsgleichungen.

Abb. 1.4.5

Abb. 1.4.6

Abb. 1.4.7

Auch eine Wurfbahn !



Mit einer Federkanone (siehe Abb. 1.4.5 ) wird eine an einem Elektromagneten hängende Eisenkugel K anvisiert. Mit dem Schuss wird der Strom durch den Magneten unterbrochen und die Kugel fällt. Das Geschoss G, welches den Lauf der Kanone verlässt, trifft die Kugel.


Erklärung:

Bei fehlender Erdanziehungskraft würde das Geschoss G zu einem Zeitpunkt t (Wurfbeginn bei t = 0) den Magneten erreichen. Unter der Kraft m· g ist das Geschoss ½ · g ·t2 tiefer und somit am Ort der fallenden Kugel.

Die Gewichtskraft ist nach Richtung und Betrag konstant, sie ist unabhängig vom Verlauf der Bewegung. Dies ist die Voraussetzung für die Herleitung der Bewegungsgleichungen, die mit den gerade beschriebenen Experimenten auf ihre Richtigkeit geprüft wurden.

Aufgabe: Ein Gegenstand K werde mit der Geschwindigkeit v unter dem Höhenwinkel α am Ort P(0;0) nach oben geworfen (siehe Abb. 1.4.6 ). Welchen Ort P(x; y) erreicht dieser Gegenstand in einer Zeit t nach dem Abwurf ?

v1 /v = cos(α)  →    v1 = v·cos(α),   v2 /v = sin(α)   →   v2 = v · sin(α)

x = t · v · cos(α) ,   y = t· v · sin(α) - (g/2) · t2

x = t · v · cos(α) , y = t· v · sin(α) sind die Koordinaten des Punktes P’, den K ohne Erdanziehung ( g = 0) in der Zeit t erreichen würde. Die Gleichung x = t · v · cos(α) kann man nach t auflösen und erhält t = x / [v · cos(α)]. Ersetzt man in der für y gültigen Gleichung die Zeit t durch diesen Term, dann erhält man eine quadratische Funktion, die durch eine Parabel dargestellt wird.

y = x · (sin α / cos α ) - g · x2 / (2 · v2 · cos2 α )

Aufgaben

1. Ein 200 g schwerer Wagen steht auf einer waagrechten Ebene. Vom Wagen geht ein Faden aus, er läuft über eine Rolle abwärts und trägt am anderen Ende ein 20g-Gewicht.

Abb. 1.4.8



Welche Geschwindigkeit hat der anfänglich ruhende Wagen 3s nach seiner Freigabe ?    Welchen Weg legt er innerhalb von diesen 3 s zurück ?

Wir gehen davon aus, dass es ohne Bedeutung für die Bewegung des Wagens ist, ob die auf m2 wirkende Kraft F = m2· g nach unten oder nach rechts gerichtet ist.

2. Ein Gegenstand wird mit v0 = 10 m/s senkrecht nach oben geworfen.

Welche Höhe erreicht er und wie lange dauert der Wurf ?

3. Ein Gegenstand wird mit v0 = -5 m/ s von einem y0 = 10 m hohen Turm senkrecht nach unten geworfen.

Wie lange dauert der Wurf und mit welcher Geschwindigkeit schlägt der Gegenstand auf den Boden ?

4. Ein Ball wird mit 15 m/s unter dem Höhenwinkel 45° aus 1,7 m Höhe nach oben geworfen.

Welche Höhe erreicht der Ball, wie weit fliegt er, mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel schlägt der Ball auf den Boden ?





1.4.2 Bewegung auf einer Kreisbahn

Wenn eine Kraft auf einen Körper K wirkt, erwartet man an K eine Veränderung des Geschwindigkeitsbetrages. Dies ist nicht immer der Fall, z.B. dann nicht, wenn es sich um eine Normalkraft handelt, wenn die Bewegungsrichtung mit der Richtung der Kraft einen rechten Winkel bildet. Man denke an einen Körper der Masse m, der an einem Faden auf einer Kreisbahn geführt wird. Wir untersuchen nun eine Bewegung in der x-y-Ebene unter einer dem Betrage nach konstanten Normalkraft F = {F1 ; F2 ; 0}.

In der Schule ist die mathematische Behandlung dieser Bewegung nur mit Hilfe eines Rechners möglich. Hierbei wird in folgender Weise vorgegangen: Die Bewegungszeit wird in sehr kleine Zeitabschnitte Δt zerlegt. Ein Δt ist so klein, dass innerhalb dieses Abschnitts die Kraft nach Richtung und Betrag als konstant angesehen werden kann. Mit den für konstante Kräfte geltenden Bewegungsgleichungen wird die Orts- und Geschwindigkeitsänderung während des ersten Zeitabschnitts Δt berechnet.

a1 = F1/m,  a2 = F2/m

F1, F2 : Kraftkomponenten in x- und y-Richtung während des Zeitabschnitts Δt

a1, a2: Beschleunigungen in x- und y-Richtung

v1 = a1· Δt + u1 ,   v2 = a2· Δt + u2

u1,u2 : Geschwindigkeiten vor Δt ,      v1, v2 : Geschwindigkeiten nach Δt

x = 0,5 · a1 · Δt2 + u1 · Δt + x0 ,    y = 0,5 · a2 · Δt2 + u2 · Δt + y0

x0, y0 : Koordinaten vor Δt ,     x, y : Ortskoordinaten nach Δt

Nach dieser Rechnung ist der Ort und die Geschwindigkeit zu Beginn des zweiten Abschnitts Δt bekannt. Mit diesen Werten wird daraufhin der Ort und die Geschwindigkeit zu Beginn des dritten Abschnitts ( nach dem Ende des 2. Abschnitts) berechnet usw..

Abb. 1. 4.9

Die Koordinaten F1 und F2 der dem Betrage nach konstanten Kraft F (|F| = F) werden wie folgt bestimmt:

F1 / |F| = v2 / |v| ,    - F2 / |F| = v1 / |v|

|F| = F , |v| = v,   v = √(v12 + v22)

F1 = (v2 /v)· F,   F2 = -(v1 /v)· F



Manchmal ist auch eine Angabe über die Bewegungszeit gewünscht. Hat diese vor Δt den Wert tvor , dann ist sie nach Δt gleich tnach = tvor +Δt.

Die im Microsoft-Office und Open-Office (Sun) enthaltenen Tabellenkalkulationsprogramme eignen sich zur Ausführung der hier angegeben Berechnungsschritte. Diese Tabellenkalkulationsprogramme zeigen viele Spalten an, die mit A,B,C.. überschrieben sind. Wird in der n. Zeile unter einem Buchstaben z.B. A eine Zahl oder ein Text eingetragen, dann werden diesem Eintrag die Variablen An und $A$n zugeordnet. Wird in ein anderes Feld „=An“ z.B. „=A5“ eingetragen, dann erscheint der zugehörende Eintrag nach dem Anschlag der Taste „Zeilenwechsel“ auch in der andern Zeile. „=$A$n“ und „=An“ stehen für das Gleiche. Was sie unterscheidet, wird der Leser bald erkennen.

Abb. 1.4.10

Wie ist nun bei der hier vorliegenden Augabe vorzugehen? Es wird eine Tabelle erstellt, wie sie unter www.g-hoehne.de/T/T1.ods heruntergeladen werden kann.

Zuallererst werden in die erste Zeile die gerade aufgestellten Gleichungen eingetragen. In die zweite Zeile werden die Anfangswerte von x , y, v1, v2 sowie die konstanten Werte F / Newton = 20, Δt / Sekunde = 0,001 und Masse / kg = 1 geschrieben. Die Gleichungen in der ersten Zeile werden vom Rechner nicht als Rechenanweisungen erkannt. Zu ihnen passende, dem Rechner verständliche Rechenanweisungen (siehe folgende Tabelle) werden darunter in die dritte Zeile geschrieben.

F1 = (v2 / v) · F → = F2/G2*$K$2

F2 = - (v1 /v)· F → = -E2/G2*$K$2

a1 = F1/m → = A3/$M$2

a2 = F2/m → = B3/$M$2

v1 = a1· Δt + u1 = C3*$L$2+E2

v2 = a2· Δt + u2 = D3*$L$2+F2

v = √(v12+v22) → = WURZEL(E3^2+F3^2)

tnach = tvor+ Δt → = H2+$L$2

x = 0,5 · a1 · Δt2 + u1 · Δt + x0 → = 0,5*C3*$L$2^2 + E2*$L$2 + I2

y = 0,5 · a2 · Δt2 + u2 · Δt + y0 → = 0,5*D3*$L$2^2 + F2*$L$2 + J2

Mit der Taste „Zeilenwechsel“ wird der Eintrag einer Rechenanweisung beendet. Es erscheint dann anstelle der eingetragenen Formel das Rechenergebnis. Mit einem einfachen Klick auf das Rechenergebnis kann die zugehörende Formel oben im Tabellenfenster neben „fxΣ =“ sichtbar gemacht werden. Bei einem Doppelklick tritt an die Stelle des Rechenergebnisses die zugehörende Formel. Mit „Einfügen-Kopieren“ überträgt man nicht das Rechenergebnis, sondern die Formel.

Die in der Tabelle angegebenen Rechenanweisungen werden in die dritte Zeile unter die Gleichungen geschrieben, denen sie mit einem Pfeil zugewiesen sind. Mit ihnen werden die Geschwindigkeiten und Ortskoordinaten am Ende der ersten Zeitabschnitts Δt berechnet. Zur Berechnung der Werte am Ende des zweiten Δt muss eine Zeile folgen, die sich von der vorangehenden Zeile nur dadurch unterscheidet, dass die Indices der Variablen ohne „$“ um 1 erhöht sind. In den Anweisungen für das dritte Δt in der 5. Zeile müssen die genannten Indices nochmal um eine 1 vergrößert werden usw..

Das Anlegen dieser Zeilen geschieht in folgender Weise: Die 1. Spalte der dritten Zeile wird angeklickt und damit ein Rahmen um die dort vorhandene Eintragung gesetzt. Dieser Rahmen wird anschließend bei gedrückter Maustaste (Linkstaste) mit dem Mauszeiger in der Rahmenmitte bis zur Spalte J geführt (siehe Abb. 1.4.11 ).



1.4.11

Danach zieht man mit der Maus den rechten unteren Eckpunkt des Rahmens bei gedrückter Maustaste (Linkstaste) nach unten, wobei ein roter Rahmen aufgespannt wird. Nach der Freigabe der Maustaste wird das umrahmte Feld mit mit den Ergebnissen der darin neu angelegten Zeilen ausgefüllt.

Wenn man von den Indices der Variablen ohne „$“ absieht, könnte man die neu angelegten Zeilen als Kopien der dritten Zeile bezeichnen. Die genannten Indices werden jedoch von Zeile zu Zeile um 1 vergrößert. Dementsprechend sind die Rechenergebnisse einer Zeile die Anfangswerte für die Berechnungen in der nächsten Zeile.

In der 3. Zeile stehen nun die Werte nach dem 1. Zeitabschnitt Δt, in der 4. Zeile die Werte nach dem 2. Zeitabschnitt Δt usw..

Die Spalten I(x-Werte) und J(y-Werte) werden zur grafischen Darstellung ausgewählt. Nach Anklicken des Buchstabens I (Linkstaste) wird der Mauszeiger bei gedrückter Maustaste nach J geführt. Nach Wahl von „Diagramm“ unter „Einfügen“ erscheint das erste Dialogfeld der Abb. 1.4.12 und nach Anklicken von „XY“ das nächste in dieser Abbildung gezeigte Dialogfeld.

Abb. 1. 4.12

Mit „Nur Linien“ und „Fertig stellen“ wird die in der Abb. 1.4.13 sichtbare kreisförmige Bahn gezogen. Sie weicht etwas von einer Kreisbahn ab. Dies ist auf Rechenungenauigkeiten zurückzuführen.

Abb. 1. 4.13             Abb. 1. 4.14

Eine höhere Rechengenauigkeit wird erreicht, wenn statt der Beschleunigung zu Beginn eines kleinen Zeitabschnitts Δt die Beschleunigung in der Mitte von Δt zur Berechnung genommen wird.

Für die Änderung Δa der Beschleunigung in Δt/2 kann geschrieben werden:

Δa ≈ (avor Δtanach Δt ) / 2   →   aMitte ≈  avor Δt + (avor Δtanach Δt ) / 2

Da a nach Δt zunächst unbekannt ist, wird nicht das Δa des aktuellen Δt, sondern das zum vorhergehenden Δt genommen. Zur Korrektur mit Δa werden in der Tabelle unter der 5. Zeile alle Zeilen gelöscht. Dann erhalten die unter C und D in der fünften Zeile stehenden Anweisungen (Beschleunigungen) als Δa die Korrekturglieder +(C4-C3)/2 und +(D4-D3)/2. Hiernach wird die fünfte Zeile bis zur Zeile 2000 kopiert.

Die mit den neuen Werten berechnete Bahn (siehe Abb. 1. 4.14) ist ein Kreis mit einem 1,25 m-Radius. Die Korrektur ist so gut, dass noch bei einem 10 fach größeren Wert von Δt ( Δt = 0,01) eine ordentliche Kreisbahn entsteht.

Ist das Fenster, in dem das Diagramm liegt, durch Doppelklick aktiviert (grauer Rand), dann können mit „Einfügen-Titel“ Titel hinzugefügt und die Achsen beschriftet werden ( hier y/m und x/m). Ein Gitternetz ist mit „Einfügen-Gitter“ machbar und nach einem Rechtsklick im Diagrammbereich kann mit „Format-Position und Größe“ die Länge und Breite des Diagrammfeldes festgelegt werden. Die hier berechnete Bahn ist nur dann als Kreisbahn erkennbar, wenn die Strecken gleich lang sind, die den Einheiten auf der x- und y-Achse zugeordnet sind. Mit einem Rechtsklick auf einer Zahl an den Koordinatenachsen werden Möglichkeiten zur Gestaltung der Zahlenangaben angezeigt.

Der in der Abb. 1. 4.16 ablesbare Radius r = 1,25 m ist nach der in dem Kapitel 1.3.11 als Vermutung angegebene Gleichung F = m·v2/r zur Kraft auf einen kreisenden Körper zu erwarten.

F = m·v2/r    →    r = m·v2/ F = 1 kg · 25 m2/ s2/ 20N = 1,25 m

Die Werte in der Spalte G zeigen an, dass die Bahngeschwindigkeit v konstant ist.

Als Ergebnis der hier durchgeführten Untersuchung ist festzustellen: Ein Körper wird auf einer Ebene durch eine zur Ebene parallele, dem Betrage nach konstante Normalkraft auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit gehalten (G= v ist konstant). Die auf den Kreismittelpunkt gerichtete Kraft heißt Zentripetalkraft FZ und die zugehörende Beschleunigung Zentripetalbeschleunigung.

Die Beschleunigung zum Kreismittelpunkt hin wird Zentripetalbeschleunigung genannt. Zur experimentellen Ermittlung ihres Betrags lassen wir eine Kugel auf der Experimentierwippe kreisen (siehe Abb. 1.4.15).

Abb. 1.4.15



Das Diagramm beschreibt den Weg s des Punktes P, der senkrechten Projektion des kreisenden Körpers B auf einen durch den Kreismittelpunkt gehenden Pfeil. Dem Bewegungsdiagramm kann mit bekannten Computerprogramm Cassy-Lab der Firma LD-DIDACTIC eine Parabel angepasst und der zu ihr gehörende Funktionsterm bestimmt werden. Für sehr kurze Zeiten t nach der Kehrtwende von P am linken Umkehrpunkt gilt für den Weg s diese Punktes:

s = ½ ·a ·t2 ( a = |a| )

Für die Parabel in der Abb. 1.4.15 wurde s = (1,51 m/s2) · t2 erhalten. Folglich hat die Zentripetalbeschleunigung den Wert 3,02 m/s2. Nach den am Diagramm ablesbaren Werten (Umlaufzeit = 1,32 s , Bahnradius =14 cm) ist v2/r = 3,1 m/s2. Der geringe Unterschied zwischen den beiden Werten 3,02 m/s2 und 3,1 m/s2 ist auf Ungenauigkeiten bei der Messung zurückzuführen.

Der Funktionsterm der Parabel, welche die Bewegung der Projektion P bei kleinem s beschreibt, soll nun anhand der Abb. 1.4.16 hergeleitet werden. Das der Kreisbahn zugeordnete Dreieck ABC ist nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck. Es vergeht die Zeit t, während P den Weg s zurücklegt. Der Kreisbogen AB weicht bei kleinem t nur sehr wenig von der Kathete AB ab. Es gilt somit nach dem Kathetensatz:

s· (2 · r) = ( v·t)2 → s = [(v2/r) /2]·t2

s = (a /2) · t2

a = v2/r → |FZ| = m· v2/r

Abb. 1. 4.16

Für die Zentripetalkraft wird oft die Gleichung F = m·ω2·r angegeben. ω ist die Winkelgeschwindigkeit, sie beschreibt den Winkel (im Bogenmaß), der in einer Zeiteinheit von der Strecke überstrichen wird , welche den kreisenden Körper mit dem Drehpunkt verbindet.

ω = 2·π/T , v = 2·π·r/T    →   v = ω·r;   F  =   m · v2/r   =   m·(ω·r)2/r   =   m·ω2·r



Aufgaben

Zur Behandlung der hier gegeben Aufgaben muss das Additionsgesetz der Kräfte bekannt sein, welches erst in den folgenden Kapiteln behandelt wird. Dieses Gesetz besagt: Wirken auf einen Körper K zwei Kräfte F1 und F2 , dann verhält sich der Schwerpunkt von K so, als ob nur eine der Vektorsumme von F1 und F2 gleichende Kraft F3 auf ihn einwirke.

Abb. 1.4.17

1. Ein mit Wasser gefüllter Eimer wird in einer vertikalen Ebene auf einer Kreisbahn mit r = 0,8 m um einen Punkt M gedreht. Welche Geschwindigkeit muss der Eimer am höchsten Punkt seiner Bahn mindestens haben, wenn das Wasser nicht auslaufen soll ?

Abb. 1. 4.18

2. Wenn die Straße glatt ist (vernachlässigbare Reibung), dann muss sie in einer Kurve nach dem äußeren Kurvenrand hin ansteigen, damit ein Auto nicht aus der Kurve heraus rutscht.Wie groß muss der Anstiegswinkel α in einer Kurve mit dem Radius r = 50 für ein Auto mit 100 km/h sein ?

Abb. 1.4.19

3. Mit v = 20 km/h fährt ein Radfahrer in eine Kurve, deren Radius r = 20 m beträgt. Mit welchem Winkel α legt sich der Radfahrer hierbei in die Kurve ?

Abb. 1.4.20

4. Am oberen Ende eines rotierenden senkrechten Stabes ist eine Kugel mit einem Faden der Länge L = 50 cm angebunden. Sie dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 10 ·1/s. Welchen Winkel α bildet der 4Faden mit dem Stab ?

Abb. 1.4.21

5. Auf die höchste Stelle eines Rohres mit dem Radius r = 0,5 m wird ein kleiner Experimentierwagen gesetzt. Nach einem ganz leichten Stoß rollt er reibungsfrei abwärts. Bei welchem Winkel α löst er sich vom Rohr ?

Abb. 1.4.22