1.8 Der Logarithmus

Aufgabe:

Es soll die Lösung zu y = b^x  (y = 5; b = 2) gefunden werden.

Die Aufgabe wird durch Intervallschachtelung gelöst.

Wir bestimmen ein Intervall [a|e], in dem x liegt. Als ein solches Intervall kommt z.B. [-1| 10] in Frage.

2^-1 < 5 <  2¹⁰ , 5 = 2^x      →      -1 < x < 10

Das Intervall um x soll nun schrittweise verkleinert werden.

Es wird der Mittelwert c = (a+e)/2  von a und e bestimmt. Ist 2^c > 5 (c ist zu groß), dann wird c als  rechte Intervallgrenze genommen. Ist 2^c < 5 (c ist zu klein), dann wird c als linke Intervallgrenze a bestimmt. Dieser Vorgang wird solange wiederholt bis das Intervall [a|e] einen Bereich < 0,0000001 umfasst.

Die Intervallschachtelung  nach dem folgenden Programm liefert den Wert x =  2.32192808762193 (linke Intervallgrenze) .

|y|b|a|e|f|=|5|2|-1|10|1|: Anfangsbedingungen mit Doppelklick festlegen !

wiederhole  bis f<0.0000001

c =(a+e)/2

d = b^c

f=abs(e-a)

wenn f<0.0000001

?x =

?c

ohnewenn

wenn d>= y

e=c

ohnewenn

wenn d<= y

a=c

ohnewenn

zurück

Nach Eingabe von „41“ und „START“ kann das Programm ausgeführt werden.

x nennt man den Logarithmus von 5 zur Basis 2. Hierfür schreibt man: x =log₂ (5)

Definition des Logarithmus:

Unter log_b (y) versteht man die Zahl, mit der b potenziert werden muss, wenn man y erhalten will.

Beispiele:

log₂ (8) = 3           →      2³  = 8

log₁₀ (100) = 2      →    10²  = 100

log₂ (64) = 6          →    2⁶  = 64

Für  log₁₀ (y) schreibt man lg(y) und für log_e(y) , den Logarithmus zur Basis e, nimmt man als Kurzform ln(y). ln(y) wird natürlicher Logarithmus von y genannt.