1.7
Nullstellen eines Polynoms
An
einem Polynom P(x) sind oft die Nullstellen von Interesse, die
x-Werte, mit denen ein Polynom den Wert 0 annimmt.
y
= x3
-
2·x2
-
x + 2 hat die Nullstellen 1; -1 und +2.
Die
Nullstellen kann man mit dem Online-Programm Nullstellen
bestimmen. Ein Iterationsverfahren, welches dem zur Berechnung
einer n. Wurzel ähnelt, dient zur Ermittlung der Nullstellen.
Es
gilt: Wenn ein Polynom eine Nullstelle x0
hat, dann kann es als ein Produkt aus (x - x0)
und einem Polynom geringeren Grades dargestellt werden.
Beispiel:
x3 - 2·x2 - x + 2 = (x - 1) ·
(x2 - x - 2)
Beweis:
y
= a0 + a1· x + a2 · x2
+ a3· x3 ……………+
an-1 · x n-1 + an · xn
x0
sei eine Nullstelle.
0
= a0 + a1· x0 + a2
· x02 + a3· x03
……………+ an-1 ·
x0n-1 + an · x0n
Durch
Subtraktion der beiden letzten Gleichungen erhält man:
y
= a1 · (x – x0 ) + a2 ·
( x2 – x02 ) + a3 ·
(x3 – x03 ) + …………….an
· (xn – x0n)
Aus
einem Term der Form xn
– x0n
kann
immer x – x0
ausgeklammert
werden.
x2
– x02 = (x – x0)
· ( x + x0)
x3
- x03 = (x – x0) ·
(x2 + x · x0 + x02
)
xn
– x0n = (x – x0 ) ·
(xn-1 + xn-2 · x0 + xn-3
· x02 .................+ x0n-1)
Die
letzte Gleichung kann leicht durch Ausmultiplizieren bewiesen werden.
(x
– x0 ) · (xn-1 + xn-2 ·
x0 + xn-3 · x02
.................+ x0n-1) =
xn
+ xn-1
· x0
+ xn-2
· x0
+ x n-3
· x02
…………+ x · x0n-1
-
xn-1
·
x0
-
xn-2
·
x0
-
x n-3
·
x02
…………-
x · x0n-1
– x0n
=
xn
– x0n
Hat
ein Polynom n. Grades n Nullstellen, dann kann es in ein Produkt an
· (x – x01) · (x- x02)
.........· (x-x0n) umgeformt werden. Mit dieser
Darstellung wird deutlich, dass ein Polynom n. Grades nicht mehr als
n Nullstellen haben kann.
Wenn
der Grad des Polynoms größer als 2 ist, dann kann im
Schulunterricht eine solche Nullstelle nur durch
Probieren gefunden werden. Ist eine Nullstelle x0
gefunden, dann wird (x-x0) ausgeklammert. Das Restpolynom
( Faktor neben x – x0 ) wird auf weitere Nullstellen
hin untersucht. Zur Auffindung des Restpolynoms teilt man das Polynom
durch (x-x0).