1.6
Näherungsweise Beschreibung einer Exponentialfunktion durch ein
Polynom
Potenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten sind nur schwer zu berechnen (Iteration). Deshalb wird eine leicht berechenbare Funktion gewünscht, die zur näherungsweisen Beschreibung einer Exponentialfunktion geeignet ist.
Polynomfunktionen kommen in Frage. Unter einem Polynom versteht man einen Term der Form: a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + ........................ Unter Berücksichtigung von a0 = a0 · x0 kann man sagen, ein Polynom P(x) ist eine Summe aus Produkten an · xn.
Beispiele: P(x) = 2 + 0 · x + x2 ; P(x) = 1 + 4 · x + 2 · x2 + 3 · x3
Der höchste Exponent in den Podukten an · xn ( an ≠ 0 ) heißt Grad des Polynoms.
Es gilt:
Zu n Punkten mit verschiedenen x-Werten, die nicht alle auf der gleichen Höhe liegen, kann man immer ein und nur ein Polynom (n-1). Grades bestimmen, dessen Graph durch diese n Punkte hindurchläuft. Wählt man die Punkte auf dem Graph einer Exponentialfunktion aus, dann erhält man ein Polynom, dessen Graph sich gut dem Graphen der Exponentialfunktion anpasst. Mit dem hier verfügbaren Online-Polynomprogramm wurde das folgende Polynom 5.Grades zu den Punkten (-2;0,25), (-1;0,5), (0;1), (1;2), (2;4), (3;8) des Graphen von y = 2x bestimmt:
(1)+ (0,69583333333333)*x^1+ (0,23958333333333)*x^2+ (0,052083333333333)*x^3+ (0,010416666666667)*x^4+ (0,0020833333333333)*x^5 = y
Das zugehörende Diagramm (rot) ist mit dem Graphen von y = 2x (blau) in der Abb. 1 zu sehen.
Abb.1
Die Graphen wurden mit dem hier verfügbaren Grafik-Online-Programm gezeichnet:
Wie kann das Poynom 5. Grades berechnet werden ?
y = a0 + a1· x + a2 · x2 + a3 · x3 + a4 · x4 + a5 · x5
Der Graph dieses Polynoms soll durch die folgenden Punkte auf dem Graph zu y = 2x laufen:
P(-2;1/4), P(-1;1/2), P(0;1), P(1;2), P(2;4), P(3; 8)
Es gilt:
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0,25 = a0 + a1· (-2) + a2 · 4 + a3 · (-8) + a4 · 16 + a5 · (-32) 0,5 = a0 + a1· (-1) + a2 · 1 + a3 · (-1) + a4 · 1 + a5 · (-1) 1 = a0 + a1· 0 + a2 · 0 + a3 · 0 + a4 · 0 + a5 · 0 2 = a0 + a1· 1 + a2 · 1 + a3 · 1 + a4 · 1 + a5 · 1 4 = a0 + a1· 2 + a2 · 4 + a3 · 8 + a4 · 16 + a5 · 32 8 = a0 + a1· 3 + a2 · 9 + a3 · 27 + a4 · 81 + a5 · 24 |
Es handelt sich um 6 Gleichungen mit den 6 Unbekannten a0 – a5.
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1· a0 1· a0 1· a0 1· a0 1· a0 1· a0 |
+ (-2)· a1 + (-1)· a1 + 0 · a1 + 1 · a1 + 2 · a1 + 3 · a1 |
+ 4 ·a2 + 1 · a2 + 0 · a2 + 1 · a2 + 4 · a2 + 9 · a2 |
+ (-8) · a3 + (-1) · a3 + 0 · a3 + 1· a3 + 8 ·a3 + 27 ·a3 |
+ 16 · a4 + 1 ·a4 + 0 · a4 + 1 · a4 + 16 · a4 + 81 · a4 |
+ (-32) · a5 + (-1) ·a5 + 0 · a5 + 1 · a5 + 32 ·a5 + 243 · a5 |
+ (-0,25) = 0 + (-0,5) = 0 + (-1) = 0 + (-2) = 0 + (-4) = 0 + (-8) = 0 |
Mit einem hier verfügbaren Online-Programm zur Lösung linearer Gleichungen können a0 – a5 berechnet werden.
Wie wird ein Systems aus linearen Gleichungen gelöst?“
Das Lösungsverfahren soll nun an einen System aus drei Gleichungen erläutert werden.
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2 · x -1 · x 4 · x |
+ 3 ·y + 1·y -1 · y |
+ 4 · z + 2 · z -3 · z |
-2 -3 +1 |
= 0 = 0 = 0 |
Die 1. Zeile wird nach Multiplikation mit –1/2 von der 2. Zeile und dann nach Multiplikation mit 4/2 von der 3. Zeile subtrahiert.
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2 · x 0 0 |
+ 3 ·y + 2,5 ·y -7 · y |
+ 4 · z + 4 · z -11 · z |
-2 -4 +5 |
= 0 = 0 = 0 |
Die 2. Zeile wird nach Multiplikation mit 3/2,5 von der 1. Zeile und dann nach Multiplikation mit –7/2,5 von der 3. Zeile subtrahiert.
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2 · x 0 0 |
+ 0 + 2,5 ·y + 0 |
- 0,8 · z + 4 · z + 0,2 · z |
+2,8 -4 -6,2 |
= 0 = 0 = 0 |
Die 3. Zeile wird nach Multiplikation mit –0,8/0,2 von der 1. Zeile und dann nach Multiplikation mit 4/0,2 von der 2. Zeile subtrahiert.
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2 · x 0 0 |
+ 0 + 2,5 ·y + 0 |
+ 0 + 0 + 0,2 · z |
-22 +120 -6,2 |
= 0 = 0 = 0 |
→ → → |
x = 11 y = -48 z = 31 |
Herleitung eines Näherungspolynoms
Als Voraussetzung zur Herleitung eines für eine Exponentialfunktion passenden Näherungspolynoms kann die für eine Exponentialfunktion gültige Regel bx·bx = b(x + x) dienen. Wir gehen davon aus, dass b so gewählt werden kann, dass in dem zu bx gehörenden Näherungspolynom x1 = x den Beiwert 1 hat, und dass eine beliebig gute Annäherung an bx durch Anhängen weiterer Glieder a4 · x4 + a5 · x5 + ... erreicht werden kann.
bx = 1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 .....
Die Koeffizienten des Polynoms sind durch die oben genannte Bedingung festgelegt.
bx · bx = (1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 ....) · (1 + x + a2 · x2 + a3 · x3 ....) =
1 + x + x + a2 · x2 + x2 + a2 · x2 + a2· x3 + a2 · x3 + a3 · x3 + a3 · x3 ...... =
1 + (x + x) + (2·a2 + 1)/4 · (x + x)2 + (2·a3+2·a2)/8 · (x + x)3 ................
bx · bx = b(x + x) = 1 + (x + x) + (2·a2 + 1)/4 · (x + x)2 + (2·a3+2·a2)/8 · (x + x)3 ................
Nach den Voraussetzungen kann für b(x + x) auch geschrieben werden :
b(x + x) = 1 + (x + x) + a2 · (x + x)2 + a3 · (x + x)3 .........
Ein Koeffizientenvergleich liefert:
(2 · a2 + 1)/4 = a2 → a2 = ½
(2 · a3 + 2 · a2)/8 = (2 · a3 + 1)/8 = a3 → a3 = 1/6
Bei einer Fortsetzung dieses Verfahrens findet man: a4 = 1/24, a5 = 1/120 ......
Hierbei fällt auf : an = 1/n! ; n! = 1 · 2 · 3 · 4 ........... · n (Sprechweise: n Fakultät)
Beispiele: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24; 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
f(1) = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! ................+1/n! strebt mit wachsendem n gegen die Zahl e = 2,718....
Unter Berücksichtigung von f(1) ≈ b1 = b kann der Schluss gezogen werden:
f(x) = 1 + x + 1/2! · x2 + 1/3! · x3 ... beschreibt die Exponentialfunktion y = ex.
In der Abb. 2 sind die Diagramme zu 1+x+1/2 !*x^2+1/3 !*x^3+1/4 !*x^4+1/5 !*x^5 und exp(x)=ex dargestellt.
Sie wurden mit dem genannten Grafikprogramm gezeichnet.
Abb.2