2.10 Einiges über Schwingungen

Im Kapitel 2.5 wurde darauf hingewiesen, dass einem an einer Spiralfeder auf und ab schwingenden Gegenstand G ein gleichförmig  kreisender  Zeiger   zugeordnet  werden  kann,  dessen  Spitze sich  immer auf der Höhe von G befindet.

Abb. 1

Nach Eingabe von „45“ und „START“ wird dieser Sachverhalt dargestellt.

Die jeweilige Auslenkung (Elongation) können wir nun beschreiben mit y = A · sin(α). α ändert sich proportional zur Zeit t. Wird die Stoppuhr dann auf 0 gestellt, wenn der rotierende Zeiger in Richtung der x-Achse weist, dann ist  α / t  konstant. Dieses Verhältnis beschreibt den Winkel, den der Zeiger in einer Zeiteinheit durchläuft.

α / t heißt Winkelgeschwindigkeit ω des Zeigers.

α / t = ω     →       α = ω · t     →      y = A · sin( ω · t)

Wenn man die Stoppuhr erst dann auf 0 stellt, wenn der Zeiger einen Winkel φ mit der x-Achse bildet ( siehe Abb. 2) dann gilt:

y = A · sin( ω · t + φ)

Abb. 2

In den Abbildungen 3 und 4 ist die Funktion y = A · sin( ω · t + φ) für verschiedene Werte von A, ω und φ dargestellt.

Die in diesen Abbildungen sichtbaren Graphen können nach der Eingabe von „55“ und „START“ mit dem Programm „Mathe.-Physik“ entwickelt werden.

Abb. 3

Abb. 4

Der Graph der Sinusfunktion y = 1· sin(1· t) besteht aus einander gleichen Abschnitten mit der zeitlichen Länge 6,28 s. Solche  Abschnitte nennt man Perioden. Der Graph zu y = 1· sin( 2 · t) hat die Periodenlänge 3,14 s.  Die Verdopplung von ω bewirkt demnach eine Halbierung der Periodendauer T.

Während einer Periode dreht sich der rotierende Zeiger um den Winkel 2 · π ( Bogenmaß).

→   ω· T = 2 · π     →      T = 2· π /ω

Wie in Abb. 4 zu sehen ist, bewirkt der Summand φ eine Verschiebung der Sinuskurve parallel zur x-Achse.

Addition von Schwingungen unterschiedlicher Schwingungsdauer

Eine Schwingung ist nicht immer durch y = A · sin(ω · t) darstellbar. In Abb. 5 ist ein biegsamer Metallstab zu sehen, an dessen Ende drei schwingende Federpendel aufgehängt sind. ω ₁  = 1/s, ω ₂ = 2/s und ω ₃ = 3/s seien die Winkelgeschwindigkeiten der drei Zeiger, die den Federpendeln zugeordnet werden können.

Unter der Einwirkung dieser drei Federn schwingt der Metallstab nach einer Funktion der Form:

y = a₁ · sin(1 · t + ω ₁) + a₂ · sin(2 · t + ω ₂ ) + a₃ · sin(3 · t + ω ₃ )

Abb. 5

In der Abb. 6 ist diese Funktion für a₁ = a₂ = a₃ = 0,5 und φ₁ = φ₂ = φ₃ = 0 dargestellt (schwarze Kurve). Die Funktion ist periodisch, denn die Periodendauer von 0,5 · sin(1 · t) ist ein ganzzahliges Vielfaches der zu 0,5 · sin(2 · t) und 0,5 · sin(3 · t) gehörenden Periodendauern. Die Periodendauer von y = a₁ · sin(1 · t + φ₁) + a₂ · sin(2 · t + φ₂ ) + a₃ · sin(3 · t + φ₃ ) gleicht der Periodendauer von y= a₁·sin(1 · t + φ₁).

Abb. 6

Nach Eingabe von „56“ und „START“ kann der zugehörende Funktionsgraph entwickelt werden.

Jeder periodischen Kurve  kann eine Funktionsgleichung 

y = a₁ · sin(ω · t + φ₁) + a₂ · sin(2 · ω · t + φ₂) + a₃ · sin(3 · ω · t + φ₃ ) + a₃ · sin(4 · ω · t + φ₃ ) …… zugeordnet werden.

Die zur Bestimmung dieser Funktionsgleichung entwickelte Methode heißt Fourieranalyse.

Durchführung einer Fourieranalyse mit   „Mathe.-Physik“  (anklicken!)

Addition von Schwingungen gleicher Schwingungsdauer

Haben die in der Abb. 5 angedeuteten Federpendel gleiche Schwingungsdauern dann gilt für die Schwingungsweite y des Metallstabs:

y = a₁ · sin(ω · t + φ₁) + a₂ · sin( ω · t + φ₂ ) + a₃ · sin( ω · t + φ₃ )

ω ist die Winkelgeschwindigkeit der zu den Federpendeln passenden  Zeigern.

Für die Summe a₁ · sin( ω · t + φ₁) + a₂ · sin( ω · t + φ₂ ) + a₃ · sin( ω · t + φ₃ ) kann geschrieben werden:

y = A · sin( ω · t + φ )

A und φ sind konstante Werte, die anhand von a₁ , a₂ , φ ₁ und φ ₂ berechnet werden können.

Zum Beweis der Behauptung muss gezeigt werden, dass für die Summe a₁ · sin(ω · t + φ₁) + a₂ · sin( ω · t + φ₂ ) zweier Sinusterme B ·sin( ω ·t + β) geschrieben werden kann.

Abb. 7

In der Abb. 7 sehen wir links die den Schwingungen  a₁ · sin(ω · t + φ₁) und a₂ · sin(w · t + φ₂ ) zugeordneten Zeiger. Werden die Zeiger so zusammengefügt (addiert), wie dies im rechten Teil der Abb. 7 zu sehen ist, dann zeigt die Spitze des verschobenen grünen Pfeils a₁ mit ihrer y-Koordinatedie Summe  a₁·sin(ω·t+φ₁)+a₂·sin(ω·t+φ₂) an. Wenn der rote und grüne Pfeil gleichförmig mit ω rotieren, dann rotiert der blaue Pfeil, dessen Spitze den y-Wert a₁·sin(ω·t+φ₁)+a₂·sin(ω·t+φ₂) hat, auch gleichförmig mit ω.

Nach „57“ und „START“ wird diese Rotation vorgeführt.

Abb. 8

Nach dem Kosinussatz gilt:    A² = a₁² + a₂² – 2· a₁ · a₂ · cos[ 180° - (φ₂ - φ₁)]

cos(180° - α)  =  - cos (α)

A² = a₁² + a₂² + 2· a₁ · a₂ · cos(φ₂ - φ₁)

ε und β wird errechnet nach:    tan(ε) = a₁ · sin(φ₂ - φ₁) / [a₂ + a₁ · cos(φ₂ - φ₁)]

β = φ₂ - ε