2.5 Einführung
von Sinus, Kosinus und Tangens
Nach
Anklicken dieser Zeile sehen wir:
Einem
an einer Spiralfeder auf und ab schwingenden Gegenstand G kann
ein gleichförmig kreisender Zeiger
zugeordnet werden, dessen Spitze sich immer
auf der Höhe von G befindet.
Abb.
1
Diese
Tatsache ermöglicht die Bestimmung des
Körperstandortes zu bestimmten Zeitpunkten. Wenn z.B. ein Körper
mit der Schwingungsweite A = 10 cm und der Schwingungszeit
T (Dauer einer Schwingung) zum Zeitpunkt t = 0 nach oben durch die
Ruhelage ( x-Achse) schwingt, dann kann der
Standort 1/10 T später auf folgende Weise
bestimmt werden (siehe Abb. 1): Ein
Zeiger Z der Länge A wird so in das Koordinatensystem
eingezeichnet, dass er mit der x-Achse einen 36°-Winkel bildet (
36° = 360°/10). Mit dem y-Wert yz
der
Zeigerspitze erhält man
die Auslenkung des schwingenden Körpers.
Zunächst
kann die Auslenkung yz
nur
anhand einer Zeichnung bestimmt werden. Eine
Berechnungsmethode erscheint wünschenswert.
Die Abhängigkeit der
Auslenkung yz
vom
Radius r und dem Winkel α soll deshalb untersucht
werden. Nach dem Strahlensatz gilt bei konstantem
Winkel: yz
~
r → yz
/r
= Konstante k. yz
/r
ist ausschließlich vom Winkel α abhängig.
Dies
nur von α abhängige Verhältnis yz
/ r nennen wir sin α (sprich Sinus von α ).
yz
/r = sin α
Der
für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine
Längeneinheit lang.
Somit
gilt in diesem Fall: sin(α) = yz
/ r = yz /
1 = yz
yz
ist der y-Wert der Zeigerspitze.
Für
den ebenfalls durch α festgelegten Quotienten xz
/r schreiben wir cos α (sprich Kosinus von α).
xz
/r = cos α
Der
für diese Darstellung gewählte Zeiger ist eine
Längeneinheit lang.
Somit
gilt in diesem Fall: cos(α) = xz
/ r = xz /
1 = xz
xz
ist der x-Wert der Zeigerspitze.
Die
der Kreisbewegung zugeordnete x-Achse ist bei dieser Vorführung
nach oben gerichtet.
Beim
Vergleich der Darstellungen zu sin α und cos α fällt
auf: cos(α-90°) = sin(α)
→ cos(α) = sin(α+90°)
Der
Quotient yz
/ xz
trägt den Namen tan α ( sprich Tangens von α )
yz
/xz
= tan α
yz
/r = sin α; xz
/r = cos α
→ sin
α /
cos α =
tan α
In
Abb. 2 ist erkennbar, wie am Einheitskreis ( Kreis mit dem Radius
eine Längeneinheit) tan α zu einem Winkel α
bestimmt werden kann.
Abb.
2