5. Der Höhen- und Kathetensatz

Die im 1. Kapitel ( Satz des Pythagoras) genannten Dachsparren sollen noch durch Balken der Länge h_c abgestützt werden. Bei Kenntnis von a, b und c muss h_c ( Höhe im rechtwinkligen Dreieck) berechnet werden.

Abb. 1

Auf der Suche nach einer Gleichung, in der h_c enthalten ist, lassen wir uns von der Frage leiten:

Was kann man mit a, b, c und h_c berechnen ?

Es kann der Flächeninhalt A des Dreiecks bestimmt werden.

A = a · b /2 ;     A = h_c · c/2      →      a · b/2  =  h_c · c/2     →      h_c  =  (a · b )/ c

 Die  Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte p und q.

 Wie lang ist q ?

Abb. 2

q² + h_c² = b²    →    q² = b² – h_c²

h_c² + ( c -  q)² = a² →      h_c²  = a² - ( c -  q)² 

^↓

q² = b²- [a² - ( c -  q)² ]  → q² = b²- a² + c² + q² - 2·c·q

Unter Berücksichtigung von c² = a² + b² können wir schreiben:   q² = 2 · b² + q²  - 2 · c · q     →     0 = 2 · b²  - 2 · c · q 

 →      q · c = b²   →      q = b² / c

Eine entsprechende Gleichung kann auch für p aufgestellt werden :       p· c = a²    →      p = a² / c

Kathetensatz: Das Quadrat einer Kathete gleicht dem Produkt aus dem zugehörenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse.

Für h_c wurde hergeleitet: h_c  =  (a · b )/ c   →      h_c² = (a² · b² )/ c²    →     h_c² =  a² / c  ·  b² / c

→       h_c² = p · q

Höhensatz: Im rechtwinkligen Dreieck gleicht das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte  dem Quadrat der Höhe.