14.
Prisma und Pyramide
1. Prisma
Abb. 1
2. Pyramide
Abb. 2
Nach dem Prinzip des Cavalieri ist das Volumen der Pyramide durch die Größe der Grundfläche und durch die Höhe bestimmt.
Prinzip des Cavalieri:
Zwei Körper haben gleiche Volumina, wenn sie in gleicher Höhe inhaltsgleiche Querschnittsflächen haben.
Nach Anklicken dieser Zeile wird dieses Prinzip veranschaulicht.
Es werden zwei Körper A und B verglichen. A ist ein Zylinder mit trichterförmiger Öffnung, B ist eine Halbkugel.
Zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und inhaltsgleichen Grundflächen haben in jeder Höhe inhaltsgleiche Querschnittsflächen und haben deshalb nach Cavalieri gleiche Volumina (siehe Abb . 3).
A1= A2
Abb. 3
Dies ist leicht einzusehen, denn eine Länge L1 des Querschnitts verhält sich nach dem Strahlensatz zur entsprechenden Länge L der Grundfläche so wie h1 zu h.
L1 / L = h1/h.
Ist die Grundfläche der Pyramide ein Dreieck, dann ist ihr Flächeninhalt A = ½∙a∙b ( a: Höhe, b: Länge der Grundseite). Für den der Grundfläche ähnlichen Querschnitt im Abstand h1 von der Spitze gilt:
A1= ½∙ a∙ (h1/h)∙b∙( h1/h) = ½∙a∙b ∙ ( h1/h)2 = A ∙ ( h1/h)2
Dies bedeutet, dass der Flächeninhalt des Querschnitts nur von seiner Höhe und dem Inhalt der Grundfläche abhängig ist. Da eine Pyramide mit vieleckiger Grundfläche in Pyramiden mit dreieckigen Grundflächen aufgeteilt werden kann, gilt diese Aussage für jede Pyramide.
Das Volumen einer Pyramide soll nun noch auf eine Art bestimmt werden, wie sie in Abb. 4 angedeutet ist.
Abb. 4
Es wird das Gesamtvolumen von n umbeschriebenen (grüne Ränder) und n-1einbeschriebenen (schwarze Ränder) Quadern berechnet. Diese Volumina streben mit steigender Anzahl der Quader gegen das Pyramidenvolumen.
V1: Gesamtvolumen aller einbeschriebenen Quader mit quadratischer Grundfläche
V2: Gesamtvolumen aller umbeschriebenen Quader mit quadratischer Grundfläche
Es ist erkennbar: V2 – V1 = Volumen des größten umbeschriebenen Quaders
V2 – V1 = k2 · h
Nach Eingabe von „25“ und „START“ kann V2 von 1000 umbeschriebenen Quadern im Tabellenfenster berechnet werden.
Im Tabellenfenster ist zunächst eine Tabellenspalte mit den Zahlen von 1 – 1000 zu sehen. Diese Zahlen a sind als Nummern der einzelnen Quader aufzufassen. a = 1 steht für den 1. Quader an der Pyramidenspitze, a= 2 steht für den darauf folgenden Quader usw..
Die Breite des 1. Quaders beträgt k/1000, die des zweiten 2 · k/1000 und die des Quaders mit der Nummer a ist a · k/1000 (k: Breite der quadratischen Pyramidengrundfläche).
Für die Höhe h eines Quaders gilt: h = H/1000 (H = Höhe der Pyramide)
Das Volumen des umbeschriebenen Quaders mit der Nummer a ist (a·k/1000)2 ·H/1000.
Die Tabelle wird mit S + (a*k/1000)^2 · H/1000 ausgewertet. Hierbei werden die Einzelvolumina (a*k/1000)^2*H/1000 nach und nach zu S addiert. In die zweite Spalte wird S eingetragen. S in der 100. Zeile steht für das Volumen aller Quader von 1 – 100.
Vor einem Doppelklick auf dem Auswerteterm muss die Zeile |k|H| = |20|15| doppelt angeklickt werden. K erhält hiermit den Wert 20 und H den Wert 15.
Ergebnis der Rechnung:
Gesamtvolumen der 1000 umbeschriebenen Quader: 2003 Volumeneinheiten
Gesamtvolumen der Quader von 1 – 999 : 1997 Volumeneinheiten
Die umbeschriebenen Quader von 1 – 999 gleichen den 999 einbeschriebenen Quadern.
Mittelwert der beiden Volumina = 2000 Volumeneinheiten
Dieser Mittelwert gleicht dem Pyramidenvolumen V= 1/3 · Grundfläche · Höhe = 1/3 · 400 · 15 = 2000 Volumeneinheiten.